内積の連続性

$ \forall\psi_\bullet,\phi_\bullet:\N\to V\forall\psi,\phi\in V:\begin{dcases}\psi_i\to\psi\pod{i\to\infty}\\\phi_i\to\phi\pod{i\to\infty}\end{dcases}\implies\Braket{\psi_i|\phi_i}\to\Braket{\psi|\phi}\pod{i\to\infty}

証明

$ \forall\psi_\bullet,\phi_\bullet:\N\to V\forall\psi,\phi\in V:

$ \begin{dcases}\psi_i\to\psi\pod{i\to\infty}\\\phi_i\to\phi\pod{i\to\infty}\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\lVert\psi_i-\psi\rVert\to0\pod{i\to\infty}\\\lVert\phi_i-\phi\rVert\to0\pod{i\to\infty}\end{dcases}

$ \implies\Braket{\psi_i|\phi_i}-\Braket{\psi|\phi}=\Braket{\psi_i-\psi|\phi_i}+\Braket{\psi|\phi_i-\phi}

$ \le\lVert\psi_i-\psi\rVert\lVert\phi_i\rVert+\lVert\psi\rVert\lVert\phi_i-\phi\rVert

$ \to0\pod{i\to\infty}

$ \underline{\implies\Braket{\psi_i|\phi_i}\to\Braket{\psi|\phi}\pod{i\to\infty}\quad}_\blacksquare

Reference