normの連続性

すなわち、任意のnorm線型空間$ ((V,+),\mathbf K,\cdot,\lVert\bullet\rVert)にて

$ \forall\psi_\bullet:\N\to V\forall\psi\in V:\psi_i\to\psi\pod{i\to\infty}\implies\lVert\psi_i\rVert\to\lVert\psi\rVert\pod{i\to\infty}

証明

$ \forall\psi_\bullet:\N\to V\forall\psi\in V:

$ \psi_i\to\psi\pod{i\to\infty}

$ \iff\lVert\psi_i-\psi\rVert\to0\pod{i\to\infty}

$ \implies|\lVert\psi_i\rVert-\lVert\psi\rVert|\le\lVert\psi_i-\psi\rVert

$ \to0\pod{i\to\infty}

$ \underline{\implies\lVert\psi_i\rVert\to\lVert\psi\rVert\pod{i\to\infty}\quad}_\blacksquare

Reference