filter基 - くたくたじゅうよん

filter基

$ \forall X\forall\mathcal B\subseteq2^Xが以下を満たすとき、$ \mathcal Bを$ X上のフィルター基(filter base,prefilter)と呼ぶ

(F1)$ \mathcal B\neq\varnothing

∀X,ℱ(ℱ∩2^X≠∅⇔X∈⟨ℱ⟩X)だから$ X\in\lang\mathcal B\rang_Xに替えても同値

$ \lang\bullet\rang_\bullet：拡張 (集合)

(F2)$ \varnothing\notin\mathcal B

∀X,ℱ(∅∈ℱ⇔2^X=⟨ℱ⟩X)だから$ 2^X\neq\lang\mathcal B\rang_Xに替えても同値

(F3a)$ \forall B_1,B_2\in\mathcal B:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X∀F1,F2∈ℱ(F1∩F2∈⟨ℱ⟩)

$ \forall B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_Xに替えても同値 (後述)

∀X,ℱ∀F1,F2∈2^X(F1∩F2∈⟨ℱ⟩X⇒F1,F2∈⟨ℱ⟩X)だから$ \forall B_1,B_2\in2^X:(B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X\iff B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X)に替えても同値

性質

filterの生成

$ \lang\mathcal B\rang_Xは$ X上のfilter (数学)になる

$ \lang\mathcal B\rang_Xを$ \mathcal Bで生成されるfilterと呼ぶ

filter基は、「$ \lang\mathcal B\rang_Xがfilter (数学)になる集合」とも言い換えられる

またfilter基ℬで生成されるfilterはℬを含む最小のfilterでもある

$ \forall X,\mathcal B:\mathcal B\text{ is a filter base}\iff\lang\mathcal B\rang_X\in\mathscr F_X

$ \because\forall X,\mathcal B:

$ \mathcal B\text{ is a filter base}

$ \iff\begin{dcases}\varnothing\notin\mathcal B\neq\varnothing\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\varnothing\notin\mathcal B\neq\varnothing\\\forall B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}X\in\lang\mathcal B\rang_X\neq2^X\\\forall B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X:B_1\cap B_2\in\lang\lang\mathcal B\rang_X\rang_X\\\lang\lang\mathcal B\rang_X\rang_X\subseteq\lang\mathcal B\rang_X\end{dcases}

$ \because∀X,ℱ(ℱ∩2^X≠∅⇔X∈⟨ℱ⟩X), ∀X,ℱ(∅∈ℱ⇔2^X=⟨ℱ⟩X), ∀X,ℱ(⟨⟨ℱ⟩X⟩X=⟨ℱ⟩X)

$ \underline{\iff\lang\mathcal B\rang_X\in\mathscr F_X\quad}_\blacksquare

$ \forall X,\mathcal B:\lang\mathcal B\rang_X\in\mathscr F_X\implies\forall A\in\mathcal B\forall C:C\setminus A\notin\mathcal B

$ \because\forall X,\mathcal B:

$ \lang\mathcal B\rang_X\in\mathscr F_X

$ \implies\forall A:

$ A\in\mathcal B

$ \implies\forall C:(C\setminus A\in\mathcal B\implies(C\setminus A)\cap A\in\lang\mathcal B\rang_X)

$ \because (F3a)

$ \iff\forall C:(C\setminus A\in\mathcal B\implies\varnothing\in\lang\mathcal B\rang_X)

$ \iff\forall C:(C\setminus A\in\mathcal B\implies\varnothing\in\mathcal B)

$ \because∀X,ℱ(∅∈ℱ⇔∅∈⟨ℱ⟩X)

$ \iff\forall C:C\setminus A\notin\mathcal B

$ \because(F2)

$ \underline{\implies\forall A\in\mathcal B\forall C:C\setminus A\notin\mathcal B\quad}_\blacksquare

$ (\forall B_1,B_2\in\mathcal B:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X)\iff(\forall B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X)

(L)⇒(R)

$ \forall B_1,B_2:

$ B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X

$ \iff\begin{dcases}B_1\in2^X\land\exist B\subseteq B_1:B\in\mathcal B\\B_2\in2^X\land\exist B\subseteq B_2:B\in\mathcal B\end{dcases}

$ \implies B_1\cap B_2\in2^X\land\exist B_1'\subseteq B_1\exist B_2'\subseteq B_2:B_1'\cap B_2'\in\lang\mathcal B\rang_X

$ \because(L)

$ \iff B_1\cap B_2\in2^X\land\exist B\subseteq B_1\cap B_2:B\in\lang\mathcal B\rang_X

$ \iff B_1\cap B_2\in\lang\lang\mathcal B\rang_X\rang_X

$ \underline{\iff B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X\quad}_\blacksquare

$ \because∀X,ℱ(⟨⟨ℱ⟩X⟩X=⟨ℱ⟩X)

(R)⇒(L)

自明

具体例

空集合を含まない単元集合はfilter基

filter基の収束はfilterの収束で定義する

$ \forall x\in X:\mathcal B\text{が}x\text{に収束する}:\iff\lang\mathcal B\rang\text{が}x\text{に収束する}

filter基と像

$ \mathscr B_X：$ Xのfilter基全体の集合

$ \forall X,Y\forall f:X\to Y\forall\mathcal B\in\mathscr B_X:{f^\to}^\to(\mathcal B)\in\mathscr B_Y

おそらく$ \forall X,Y\forall F:2^X\to2^Y\setminus\Set{\varnothing}\forall\mathcal B\in\mathscr B_X:F^\to(\mathcal B)\in\mathscr B_Yも成立する

$ \forall X,Y\forall f:X\to Y\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:{f^\gets}^\gets(\mathcal F)\in\mathscr F_Y

filter (数学)は2重逆像のとき保存される

収束空間について - 記号の世界ゟ

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