filter基ℬで生成されるfilterはℬを含む最小のfilter

proof

$ \forall\mathcal F\in\mathscr F_X:

$ \mathcal B\subseteq\mathcal F

$ \implies\lang\mathcal B\rang_X\subseteq\lang\mathcal F\rang_X

$ \iff\lang\mathcal B\rang_X\subseteq\mathcal F

$ \underline{\therefore\lang\mathcal B\rang_X=\min\Set{\mathcal F\in\mathscr F_X|\mathcal B\subseteq\mathcal F}\quad}_\blacksquare