3次元2階tensorの固有方程式の導出
$ \pmb Aのある基底における混合成分を$ A_i^jとする
$ \det(\pmb A-\lambda\pmb I)=0
$ \iff (A_0^0-\lambda)(A_1^1-\lambda)(A_2^2-\lambda)+A_0^1A_1^2A_2^0+A_0^2A_1^0A_2^1
$ -A_0^1A_1^0(A_2^2-\lambda)-(A_0^0-\lambda)A_1^2A_2^1-A_0^2(A_1^1-\lambda)A_2^0=0
$ \iff -\lambda^3+(\mathrm{tr}\pmb A)\lambda^2-(A_0^0A_1^1+A_1^1A_2^2+A_2^2A_0^0)\lambda+\det\pmb A+(A_0^1A_1^0+A_1^2A_2^1+A_0^2A_2^0)\lambda=0
$ \iff \lambda^3-(\mathrm{tr}\pmb A)\lambda^2+J_2\lambda-\det\pmb A=0
第1不変量$ J_1=\mathrm{tr}\pmb A=\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2 第2不変量$ J_2=\begin{vmatrix}A_{00}&A_{01}\\A_{10}&A_{11}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{22}&A_{20}\\A_{02}&A_{00}\end{vmatrix} $ =\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0
$ =\frac12\left((\mathrm{tr}\pmb A)^2-\mathrm{tr}\pmb A^2\right)
第3不変量$ J_3=\det\pmb A=\lambda_0\lambda_1\lambda_2