第2不変量をtensor方程式で表す
$ J_2=\frac12\left((\mathrm{tr}\pmb A)^2-\mathrm{tr}\left(\pmb A^2\right)\right)=\begin{vmatrix}A_{00}&A_{01}\\A_{10}&A_{11}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{22}&A_{20}\\A_{02}&A_{00}\end{vmatrix}=\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0になる
導出
成分表示を使う
$ \begin{vmatrix} [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{01}\\ [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{10}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{12}\\ [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{21}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{20}\\ [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{02}& [\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}\end{vmatrix}
$ =[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{01}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{10}-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{12}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{21}-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{20}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{02}
$ = \frac12\left([\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}\right)^2-\frac12\left([\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{00}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{11}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{22}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{01}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{10}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{12}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{21}+[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{20}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{02}\right)
$ = \frac12(\mathrm{tr}\pmb A)^2-\frac12\sum_{i,j}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ji}
$ = \frac12(\mathrm{tr}\pmb A)^2-\frac12\mathrm{tr}\left(\pmb A^2\right)
$ = \frac12\left((\mathrm{tr}\pmb A)^2-\mathrm{tr}\left(\pmb A^2\right)\right)
$ \frac12\left((\mathrm{tr}\pmb A)^2-\mathrm{tr}\pmb A^2\right)=\frac12\left((\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2)^2-\left(\lambda_0^2+\lambda_1^2+\lambda_2^2\right)\right)
......もしかして$ \mathrm{tr}\pmb A^2=\pmb A:\pmb Aか？
$ \mathrm{tr}\pmb A^2=[\pmb A^2]^{\sf E\bar E}_{ii}=[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ji}
$ \pmb A:\pmb A=[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf\bar EE}_{ij}
いや同じじゃなかったわ
いや$ \sf Eを固有基底$ \sf Pにしてしまえば同じになるな
$ =\frac12\left(\lambda_0^2+\lambda_1^2+\lambda_2^2+2\lambda_0\lambda_1+2\lambda_1\lambda_2+2\lambda_2\lambda_0-\left(\lambda_0^2+\lambda_1^2+\lambda_2^2\right)\right)
$ = \frac12(2\lambda_0\lambda_1+2\lambda_1\lambda_2+2\lambda_2\lambda_0)
$ \underline{= \lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0\quad}_\blacksquare
成分表示を使う
$ \frac12\left((\mathrm{tr}\pmb A)^2-\mathrm{tr}\pmb A^2\right)=\frac12\left({[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ii}}^2-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ji}\right)
$ =\frac12\left([\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ii}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jj}-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ji}\right)
$ =\sum_{i<j}\left([\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ii}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{jj}-[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ij}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{ji}\right)
$ i=jは相殺される
$ i\ne jのとき、$ i,jが対称だから、2倍され、それが$ \frac12と相殺する
$ \underline{=\begin{vmatrix}A_{00}&A_{01}\\A_{10}&A_{11}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A_{22}&A_{20}\\A_{02}&A_{00}\end{vmatrix}\quad}_\blacksquare