ちょっと難しい積分
1.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 (0, ∞) における定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 複素積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 変数変換とガンマ関数に関するEulerの相反公式による . . . . . . . . . 13 1.2.3 n = 4 の問題を n = 2 の問題に帰着させる巧妙な積分法 . . . . . . . . . 14
1.2.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
第 2 章 三角関数の有理関数 17
2.1 Weierstrass 置換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 不定積分各論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 sec θ の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 csc θ の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 1/(a sin θ + b cos θ) の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 1/(a + b cos θ) の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.5 1/(a + b sin θ) の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.6 sec2
θ の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.7 sec3
θ の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.8 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 0, 2π の積分は複素積分で . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 ベータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
目次 2020 年 10 月 20 日
2.3.3 Wallis積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3.1 ベータ関数との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3.2 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
第 3 章 無理関数の積分 ~ 楕円積分とその周辺 43 3.1 標準形への還元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 1次式の平方根を含む有理式の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 根号の部分をそっくり置き換える方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 標準形に直して積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2.1 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2.2 J1(α) の具体的な表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 2次式の平方根を含む有理式の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1 三角関数を使った解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.2 双曲線関数を使った解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.3 規格化してからを1回の変数変換で済ませる解法 . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4 a > 0 の場合、1回の変数変換で済ませる解法 . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.5 a > 0、D < 0 の場合、1回の変数変換で済ませる解法 . . . . . . . . . 56
3.3.6 D > 0 の場合、因数分解を使った解法 その1 . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.7 D > 0 の場合、因数分解を使った解法 その2 . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.8 標準形に直して積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.8.1 漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.8.2 I0 の具体的な表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.8.3 J1(α) の具体的な表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.9 例
√
ax2 + bx + c (a > 0)の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.10 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 楕円積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 楕円積分の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1.1 Step 1 φ(x) の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1.2 Step 2 楕円積分の標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.2 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1 Dirichlet 積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 複素積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4
目次 2020 年 10 月 20 日
4.2.1 式 (4.6) の第2項の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Laplace変換を用いる方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.1 ここで使う Laplace 変換の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.1.1 Laplace 変換の像の微分法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1.2 Laplace 変換の像の積分法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.1.3 sine 関数の Laplace 変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2 Laplace 変換の像の微分法則の利用 ~ Feynmann’s technique . . . . . 90
4.3.3 Laplace 変換の像の積分法則の利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.4 2重積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.5 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 方形パルスの Fourier変換を用いる方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4.1 Fourier 変換による二重積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 短冊近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.3 Dirichlet kernel の利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 方形パルスの Fourier 変換を用いる方法 ~ (−∞, ∞) の積分 . . . . . . . . . . 96
4.5.1 Fourier 変換による二重積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.2 短冊近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5.3 Dirichlet kernel の利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 Fourier 級数を用いる方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.1 Fourier 級数を用いる方法における前提 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.1.1 Fourier 級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6.2 デルタ関数の Fourier 級数展開と Dirichlet積分 . . . . . . . . . . . . . 101 4.6.3 Fourier級数展開を使った Dirichlet 積分の一般化 . . . . . . . . . . . . 102 4.6.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Dirichlet 積分から比較的簡単に導かれる積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.1 sin(cx)/x の積分と超関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.2 sin(x^n)/x の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.3 sin(e^x) の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.4 sin2^x/x2 の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.5 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1 Lorentz 関数の逆 Fourier 変換の定義とその簡単な性質 . . . . . . . . . . . . . 107
5
5.2 複素積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3 Laplace 変換を用いる方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.1 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1 t をパラメタとした場合 その1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.2 t をパラメタとした場合 その2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.3 γ をパラメタとした場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.4 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Parsevalの等式の利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.5.1 参考文献 . .