Gamma函数
$ \Gamma:\Complex_{\Re>0}\ni z\mapsto\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt
ここで、$ \Complex_{\Re>0}:=\{z\in\Complex\mid\Re z>0\}とした
$ \Gamma(n+1)=n!という関係にある
積分による定義だと$ \Complex_{\Re>0}に限定されるが、解析接続で一般の$ \Complexにまで拡張できる
ただし$ \Re z\in\Z_-で発散する
性質
$ \Gamma\left(\frac12\right)=\left(-\frac12\right)!=\sqrt{\pi}
証明
$ \Gamma\left(\frac12\right)=\int_0^\infty t^{-\frac12}e^{-t}\mathrm dt
$ =2\int_{0\le t}e^{-t}\mathrm d(\sqrt t)
$ =2\int_{\R_{\ge0}}e^{-t^2}\mathrm dt
$ =2\sqrt{\int_{{\R_{\ge0}}^2}e^{-(x^2+y^2)}\mathrm dx\mathrm dy}
$ =2\sqrt{\int_{0\le r}\int_{0\le\theta\le\frac12\pi}e^{-r^2}r\mathrm dr\mathrm d\theta}
$ =2\sqrt{-\frac12\int_{0\le r}\mathrm d(e^{-r^2})\int_{0\le\theta\le\frac12\pi}\mathrm d\theta}
$ =2\sqrt{-\frac14\pi(0-1)}
$ =\sqrt{\pi}