有限体(ガロア体)
有限体(finite field)、ガロア体(Galois field)
要素が有限で、四則演算が閉じている集合
集合$ S の元が有限個しかなく、$ S が体をなすもの $ F_n
有限体$ F
位数$ n
$ GF(n)
GFはGalois Fieldの略
$ n は元の数、位数
$ n は素数じゃないとダメ
整数を5で割ったあまりの集合{0, 1, 2, 3, 4}は
加法に関して閉じている。
すべての行、列に0～4が含まれている
乗法に関して閉じている。
0以外のすべての行、列に1～4が含まれている
→ガロア体
table:0,1,2,3,4,+
加法(+) 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
table:0,1,2,3,4,×
乗法(×) 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
整数を4で割ったあまりの集合{0, 1, 2, 3}はガロア体じゃない。
加法に関して閉じている。
乗法に関して閉じていない。
$ GF(2)
整数を2で割った余りの集合。{0, 1}
要素数2の有限集合
$ GF(5)
整数を5で割った余りの集合{0, 1, 2, 3, 4}
要素数5の有限集合
$ GF(2^m)
$ \mathbb{F}_3
関連
確認用
Q. 有限体(ガロア体)
Q. GF(2)
Q. ガロア体ができた背景
参考
メモ