単体 - pogi-log

単体

単体(simplex)

図形を数学で扱いやすくしたもので、単体というものがある

単体の例

0 次元単体(0-単体)は点

1 次元単体(1-単体)は2つの点を結んだ線分

2 次元単体(2-単体)は3つの点を結んでできる三角形

3 次元単体(3-単体)は4つの点を結んでできる四面体

4 次元単体(4-単体)は5つの点を結んでできる五胞体

...

n次元単体(n-単体)はn + 1つの点を結んでできる図形

単体は$ n 次元ユークリッド空間で、$ n + 1 の点$ (v_0,v_1,...,v_n) \in \R^{n} から構成される

$ \R^{n+1} : n + 1 次元ユークリッド空間

点は一般の位置(general position)にある

一般の位置とは

$ n 個のベクトル$ \overrightarrow{v_0v_1}, \overrightarrow{v_0v_2}, ..., \overrightarrow{v_0v_n} が一次独立

例:

平面上の3点が一直線上にないとき、それらは「一般の位置にある」と言う。

平面上の4点が同一直線上にないかつ同一円周上にもないとき、それらは一般の位置にある。

n次元空間でn+1個の点が同一超平面にないとき、それらは一般の位置にある。

超平面とは...?

超平面とは、$ \mathbb{R}^n における $ n-1 次元の平面（一次方程式 $ a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = b で表される集合）

$ \Delta^n = \bigg\lbrace \sum_{i=0}^n a_i\overrightarrow{v}_i \mid (v_0, ..., v_n) \in \R^{n+1}, \sum_{i=0}^n a_i = 1, a_i \ge 0 \bigg\rbrace

$ \Delta^n : n-単体

$ (v_0, ..., v_n) : $ n + 1 個の点

こういう形式を重心座標(barycentric coodinates、バイセントリック座標)というらしい

$ n - 1 次元の$ (v_1,v_2,...,v_n) \in \R^{n} の場合、

$ \Delta^{n-1} = \bigg\lbrace (v_1, ..., v_n) \mid (v_1, ..., v_n) \in \R^{n}, \sum_{i=0}^n a_i = 1, (\forall i . a_i \ge 0) \bigg\rbrace

圏論

確認用

Q. 単体