ZF公理系 - pogi-log

ZF公理系

ZF公理系(Zermelo-Fraenkel axioms)

公理的集合論のひとつ

選択公理を含めないやつ

選択公理を含めたものはZFC公理系

ZF公理系は1922年にフレンケルがZ公理系を改良したもの

ref: 『形式手法教科書』P47

ZFで使われている記法自体は一階述語論理で構成されている

ref: 『形式手法教科書』P48

代替集合論

ZF公理系で出てくる公理

集合の存在公理

外延性の公理

内包性の公理、分出の公理

和集合の公理

対の公理

置換の公理

無限の公理

冪集合の公理

基礎の公理、正則性の公理

もっとわかりやすく各公理を分類すると以下のように分類できる

集合の同一性

外延性の公理

集合の種

無限の公理

集合の生成

対の公理

冪集合の公理

和集合の公理

置換の公理

選択公理

基礎の公理

基礎の公理、正則性の公理

ref: 『代替集合論＊（Alternative Set Theories）の調査』P30

集合の存在公理(set existence)

$ \exist x(x = x)

外延性の公理(axiom of extensionality)

$ \forall x, y (\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y)

内包性の公理(comprehension sheme)、分出の公理(separation scheme)

$ ∀A∀w_1,…,w_n ∃S∀x(x∈S⇔x∈A∧ϕ(x))

$ \phi(x) : 論理式

和集合の公理(axiom of union)

対の公理(axiom of paring)

置換の公理(axiom of replacement scheme)

無限の公理(axiom of infinity)

冪集合の公理(axiom of power set)

基礎の公理(axiom of foundation)、正則性の公理(axiom of regularity)

$ \forall x \lbrack \exist a \in x \Rightarrow \exist y (y \in x \land \lnot \exist z (z \in x \land z \in y )) \rbrack

確認用

Q. ZF公理系

参考

『形式手法教科書』

公理的集合論 - Wikipedia

対の公理 - Wikipedia

色々な集合論の公理系 - 進捗置き場というわけでもない場所

数学的構造主義の哲学

『代替集合論＊（Alternative Set Theories）の調査』

公理的集合論をわかりやすく解説：ZFC公理系を例に | 趣味の大学数学

AxiomaticSetTheory