米田の補題
Yoneda lemma
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函手$ F:{\bf C}\to{\bf Set}と對象$ A_{\in|{\bf C}|}を考へる 自然變換$ {\rm Hom}(A,\_)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 自然變換$ {\rm Hom}(\_,A)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 米田寫像 (Yoneda map)
$ {\rm Hom}_{[{\bf C}^{\rm op},{\bf Set}]}({\rm Hom}_{\bf C}(\_,A),F)\cong F(A)
$ {\rm Hom}_{[{\bf C},{\bf Set}]}({\rm Hom}_{\bf C}(A,\_),F)\cong F(A)
弱い米田の補題
強い米田の補題$ FK\cong\lbrack A,V\rbrack(A(K,\_),F):=\int_{x\in A}V(A(K,x),Fx)
米田埋め込み (Yoneda embedding)$ よ_A(X):={\rm Hom}(X,A),$ よ^A(X):={\rm Hom}(A,X) $ よ_\bullet:{\bf C}\to[{{\bf C}^{\rm op}},{\bf Set}],A\mapsto{\rm Hom}(\_,A),f\mapsto(f;\_)
前層への函手$ よ_\bullet:{\bf C}\to{\bf PSh}({\bf C})である $ よ^\bullet:{\bf C}^{\rm op}\to[{\bf C},{\bf Set}],A\mapsto{\rm Hom}(A,\_),f\mapsto(\_;f)
$ \cal V-豐饒圈では$ よ_\bullet:{\bf C}\to{\bf Set}^{{\cal V}^{\rm op}},$ よ^\bullet:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}^{\cal V}を考へる $ F:{\bf C}\to{\bf Set}に對して$ F(A)\cong\int^{X\in{\bf C}}F(X)\times よ_A(X)
δ函數$ f(a)=\int^{x\in\R}f(x)\delta_a(x)dx $ F:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}に對して$ F(A)\cong\int^{X\in{\bf C}}F(X)\times よ^A(X)