對角函手
diagonal functor$ \varDelta_{\bf J},$ \varDelta
$ \bf Jを小さい添へ字圈として函手圈$ {\bf C}^{\bf J}を考へる。$ {\bf C}^{\bf J}は$ \bf Jによる圖式$ {\bf J}\to{\bf C}の全てを對象とした圈となる。對角函手$ \varDelta_{\bf J}:{\bf C}\to{\bf C}^{\bf J}とは、對象$ X_{\in|{\bf C}|}を定値函手$ \varDelta X:{\bf J}\to{\bf C}に對應させ、射$ f_{\in{\rm Hom}_{\bf C}}:X\to Yを自然變換$ \varDelta f:\varDelta X\Rarr\varDelta Yに對應させる函手を言ふ 添へ字圈$ \bf Jが對象を 2 つ持つ離散圈$ \{\cdot,\cdot\}である場合は特に添へ字を省略して$ \varDeltaと書く $ {\bf C}^{\{\cdot,\cdot\}}は積圈$ {\bf C}\times{\bf C}と見做せ、$ \varDeltaは函手$ {\bf C}\to{\bf C}\times{\bf C},X\mapsto(X,X),f\mapsto(f,f)と見做せる $ \lim_\to J\dashv\varDelta_J\dashv\lim_\larr J。餘極限$ \dashv對角函手$ \dashv極限 (圈) $ +\dashv\varDelta\dashv\times
定値函手$ \varDelta X\cong\varDelta_{\bf C}\circ X 區閒圈$ \varDelta[1]\cong\{\bot\le\top\}