部分空間
定義
体$ K上のベクトル空間$ Lの空でない部分集合$ S\subseteq Lに対して、以下を満たすとき$ Sは$ Lの部分空間である
$ \forall a,b\in S\Rightarrow a+b\in S
$ \alpha\in\mathbb{R},\forall x\in S\Rightarrow \alpha x\in S
$ Lの部分集合を取れば必ず分配法則などの演算法則は自動的に成り立つので上の2条件を確かめるだけで十分mrsekut.icon
例
$ V=\mathbb{R}^2の部分集合を$ W=\{a\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} |a\in\mathbb{R}\}で定義すると、これは$ Vの部分空間
反例
$ V=\mathbb{R} の部分集合を$ W=[0,1] で定義するとこれは部分空間ではない
なぜなら$ Wはベクトル空間ではないから
なぜなら$ 1+1=2\in Wとなり、加法について閉じていないから
有限次元ベクトル空間$ Vと、その部分空間$ W\subset Vに対して以下が成り立つ
$ \dim W\le\dim V
$ \dim W=\dim Vなら$ W=Vである