和空間 - mrsekut-p

和空間

ベクトル空間$ Vの2つの部分空間$ W_1,W_2に対して

$ W_1+ W_2=\{\vec{w_1}+\vec{w_2}\in V|\vec{w_1}\in W_1 , \vec{w_2}\in W_2\}

$ W_1+W_2もまた、$ Vの部分空間である

生成系を並べることに等しい

例えば、

$ W_1=\lang \vec{a_1},\vec{a_2},\cdots, \vec{a_r}\rang

$ W_2=\lang \vec{b_1},\vec{b_2},\cdots, \vec{b_s}\rang

のとき$ W_1+W_2=\lang \vec{a_1},\vec{a_2},\cdots, \vec{a_r},\vec{b_1},\vec{b_2},\cdots, \vec{b_s}\rang

包含関係

https://gyazo.com/c88dce95fa2ec0c3b2b6daa1c5428820

$ \dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2 - \dim(W_1\cap W_2)

$ W_1\cap W_2は共通部分

$ W_1\cap W_2=\emptysetのとき、

$ \dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2となるが、

このとき$ W_1+W_2のことを直和と言い、

$ W_1\oplus W_2と表記する

次元の大小

https://gyazo.com/43a1c586b2ffb4b43306c9f24568c5a7

例

$ xyz空間内で、$ x軸+$ z軸 = $ xz平面

参考

例題など