準同型定理の証明

証明の概要

$ \psiによって、$ G/\mathrm{Ker}(\varphi)と$ \mathrm{Im}(\varphi)が同型になることを示す

$ \psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)と定義する

①$ \psiがwell-definedな写像になっている

②$ \psiが準同型である

③$ \psiが全射になっている

④$ \psiが単射になっている

記号などは準同型定理#6081a28b1982700000a1479aのものとする

https://gyazo.com/70f451465289910425fc3491ce8b7d81

証明

$ x\in Gに対し、$ \psiを、

$ \psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)と定義する

https://gyazo.com/e78579a726f1cd6389d4583fc5ba01dd

①$ \psiがwell-definedな写像になっていることを確かめる

目標

同じ剰余類内の異なる代表元より得られた等しい値$ x \mathrm{Ker}(\varphi), y\mathrm{Ker}(\varphi)を、

それぞれ$ \psiで写したもの$ \varphi(x),\varphi(y)も等しい

ことを示せばいい

https://gyazo.com/f7e9cf145c07e3f1a0ae3cd8c0a92494

$ x\mathrm{Ker}(\varphi)の別の代表元$ yを取ると、

$ \exist k\in \mathrm{Ker}(\varphi)[y=xk] と書ける

故に、$ \varphi(y)=\varphi(xk)=\varphi(x)\varphi(k)=\varphi(x)1_H=\varphi(x)

となり、$ \psiは、$ G/\mathrm{Ker}(\varphi)から$ Hへのwell-definedな写像となる

補足

3番目の=は、群の核Kerより

②$ \psiが準同型であることを確かめる

$ a,b\in Gを用いて

$ \psi(a\mathrm{Ker}(\varphi) b\mathrm{Ker}(\varphi))=\psi(ab \mathrm{Ker}(\varphi))=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\psi(a\mathrm{Ker}(\varphi))\psi(b\mathrm{Ker}(\varphi))

となるので、$ \psiは準同型写像

補足

1つ目の=は、剰余類の積

2,4つ目の=は、$ \psiの定義

3つ目の=は、$ \phiが準同型だから

③$ \psiが全射であることを確かめる

$ \phi(x)\in \mathrm{Im}(\varphi)を取ると、$ \psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=\varphi(x)になる

故に全射

補足

$ \mathrm{Im}(\varphi)\sub Hだからねmrsekut.icon

④$ \psiが単射であることを確かめる

目的

「$ \psi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}ならば、$ x=1_{G/\mathrm{Ker}(\varphi)}」を言えばいい

ref 「準同型写像fが単射」と「Ker f = {0}」は同値

$ 1_{G/\mathrm{Ker}(\varphi)}とはつまり、$ \mathrm{Ker}(\varphi)のことだよmrsekut.icon

ref 剰余群

だから、結局「$ \psi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}ならば、$ x=\mathrm{Ker}(\varphi)」を言えばいい

$ \psi(x\mathrm{Ker}(\varphi))=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}とする

$ \phi(x)=1_{\mathrm{Im}(\varphi)}となるので、$ x\in \mathrm{Ker}(\varphi)である

$ \phiの核の定義を考えればわかるmrsekut.icon

https://gyazo.com/8cd8ad25b6253b9e1439905ed7f38435

よって、$ x\mathrm{Ker}(\varphi)=\mathrm{Ker}(\varphi)

よって単射

②~④より、$ \psi:G/\mathrm{Ker}(\varphi)\to \mathrm{Im}(\varphi)は同型