基底 - mrsekut-p

基底

basis

とあるベクトルの集合

これらのベクトルの有限個の一次結合で、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができる

全てのベクトル空間は基底を持つ

一つとは限らない

複数の基底は必ず同じ個数のベクトルから成る

この個数をそのベクトル空間のハメル次元と呼ぶ

定義

ベクトル空間$ Vの元の組$ v_1,\cdots,v_nが基底であるとは以下の条件を満たすことである

$ v_1,\cdots,v_nは一次独立である

$ \lang v_1,\cdots,v_n\rang=Vが成立する

つまり$ Vの任意の元は$ v_1,\cdots,v_nの一次結合で表すことができる

このとき、どのような$ v\in Vについても

$ a_1v_1+\cdots a_nv_n=vとなるような$ (a_1,\cdots,a_n)の組がただ一つ存在する

例

$ \mathbb{R}^2上のベクトル空間を考えたとき

基底は$ (1,0)と$ (0,1)

すなわちy軸方向に1進むベクトルと、x軸方向に1進むベクトル

これらの組み合わせで全てのベクトルを表現できる

任意の集合を基底とした線形空間を考えることができる？

どうやって求める？

参考