中心極限定理
central limit theorem, CLT
$ S_nを規格化すると、$ n\to\infinとしたとき、$ S_nの確率分布は$ N(0,1)に弱収束する 前提
$ E(X_1)=m、$ V(X_1)=v
$ S_n=X_1+\cdots+X_n
このとき
$ \sqrt{\frac{n}{v}}(\frac{S_n}{n}-m)=\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}の確率分布$ n\to\infinのとき、$ N(0,1)に弱収束する ここで「弱収束する」とは
任意の融解連続関数$ f(x)に対して以下が成り立つことを言う
$ \lim_{n\to\infin}E(f(\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}))=\int^\infin_{-\infin}f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
これ合ってるの？
これは以下と同値
任意の$ a\lt bに対して
$ \lim_{n\to\infin}P(a\lt\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}\lt b)=\int^b_a\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
やっていることの意味
$ n\to\infinのとき
$ \sqrt{\frac{n}{v}}\to\infin
$ \because$ vは定数
$ (\frac{S_n}{n}-m)\to0
になるが、これらを掛けたときどうなるか、というのを見ている
やっていることの意味2
$ \sqrt{\frac{n}{v}}(\frac{S_n}{n}-m)=\frac{S_n-mn}{\sqrt{nv}}は、$ S_nを規格化したもの つまり、平均0, 分散1の確率変数になる
補足
$ E(\frac{S_n}{n}-m)=0
$ E((\frac{S_n}{n}-m)^2)=\frac{v}{n}