マハラノビスの距離
$ D^{2}=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}).
↑マハラノビスの距離の2乗
『多変量解析法入門』.iconp101
正規分布の確率密度関数とマハラノビスの距離の2乗の関係
$ p次元正規分布$ N(\mu,\Sigma)を考える これの確率密度関数は、$ f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{p} \operatorname{det}(\Sigma)}} \exp \left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right\} これの中括弧内の$ -\frac{1}{2}を除いたやつが$ xと$ \muのマハラノビスの距離の2乗
$ D^{2}=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}).
$ p=1のときは$ D^2=\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}