Kolmogorov–Smirnov検定

コルモゴロフ=スミルノフ検定_

2つの分布が異なるかどうかを仮説検定する

2つの母集団の累積分布関数が等しくなるかを比較する

対応のある2標本問題

どんな違いだったとしても、とにかく違ったら帰無仮説が棄却される

つまり、なんで違うのかがわからない

なので、棄却された場合は、分布が異なるのか、代表値が異なるのかを再度検討する必要がある

帰無仮説

$ H_0: F(x)=G(x),\forall x

$ F(x),G(x)は2つの母集団の累積分布関数(経験分布関数)

以下の統計量を使う

$ K^{+}=\max _{-\infty<x<+\infty}\left(G_{n}(x)-F_{n}(x)\right)

$ K^{-}=\max _{-\infty<x<+\infty}\left(F_{n}(x)-G_{n}(x)\right)

$ K^{-}=\max _{-\infty<x<+\infty}|F_{n}(x)-G_{n}(x)|

$ C_2(x)を自由度2のカイ二乗分布とすると、以下のような近似が与えられる

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left\{2 n\left(K^{+}\right)^{2} \leq z\right\}=\lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left\{2 n\left(K^{-}\right)^{2} \leq z\right\}=C_{2}(z) \quad(z \geq 0)

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left\{2 n(K)^{2} \leq z\right\}=C_{2}(z) \quad(z \geq 0)

検定方式($ n\ge 40の場合)

$ H_1:$ F(x)\lt G(x)の時、$ 2n(K^+)^2\ge \chi^2_2(\alpha)なら$ H_0を棄却する

$ H_1:$ F(x)\gt G(x)の時、$ 2n(K^-)^2\ge \chi^2_2(\alpha)なら$ H_0を棄却する

$ H_1:$ F(x)\ne G(x)の時、$ 2n(K)^2\ge \chi^2_2(\alpha)なら$ H_0を棄却する

例

小5と中2で計算問題の誤り率を比較

table:誤り率

小5 39.1 41.2 45.2 46.2 48.4 48.7 55.0 40.6 52.1 47.2

中2 35.2 39.2 40.9 38.1 34.4 29.1 41.8 24.3 32.4 32.6

$ H_0: 小5の誤り率$ G(x)=中2の誤り率$ F(x)

$ H_1:$ G(x)\lt F(x)

table:分布

<=27 <=31 <=35 <=39 <=43 <=47 <=51 51<

Fn(x) 1/10 2/10 5/10 7/10 1 1 1 1

Gn(x) 0 0 0 0 3/10 5/10 8/10 1

Fn(x)-Gn(x) 1/10 2/10 5/10 7/10 7/10 5/10 2/10 0

$ F_n(x)-G_n(x)がmaxなのは$ \frac{7}{10}なので$ K^-=\frac{7}{10}

$ {KS}^+(10,0.05)=6を使うと数表より有意水準5%で$ H_0は棄却される

よって、中2の誤り率は小5より低いと判断される