群準同型定理
$ f : G \rightarrow G'
1. fの核$ Ker f によるGの剰余群 $ G / Ker f は、 写像$ G/Kerf \ni x Ker f \mapsto f(x) \in Im f = f(G)
によって、fの像のなす$ G' の部分群$ Imf と同型である
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2. $ H \lhd G でかつ$ H \subset Ker fならば、図式
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を可換にする( $ f = \varphi \circ p)準同型$ \varphiが唯一存在する
証明
２から示す
写像$ \varphi : G/H \rightarrow G'を
$ \varphi(xH) := f(x) \in G' (x\in G)
と定義する
well-definedを示す必要がある
これと同様
すなわち$ xH=yH \Rightarrow f(x)=f(y)を示す
$ xH=yH のとき$ x^{-1}y \in Hゆえ、
$ f(x^{-1}y) \in f(H) \subset f(Kerf) = \{e\}
ゆえに$ f(x)^{-1}f(y) = f(x^{-1}y) = e
すなわち$ f(x) = f(y) となり
写像$ \varphi の定義が正しいことが示された
あと$ \varphi が準同型であること、$ f = \varphi \circ p をみたすことは自動的に導かれる
１を示す
$ H = Ker f とおくと
Hは２の条件を満たしているので
$ \varphi(x Ker f) = f(x) (x \in G) は$ G/Kerfから$ Imfへの全準同型である
したがって、$ \varphiが単車であることを示せば良い
ところが、
$ Ker \varphi := \{ x Ker f \mid f(x) = e\} = \{Kerf\}
ゆえ、$ Ker \varphi は$ G/Kerf の単位元Kerfのみからなり、
なので、fは単射
2はいわゆる普遍写像性質
1を2を経由せずに直接示すこともできる
から