剰余群

HがGの正規部分群ならば、剰余集合G/Hは演算(*)によって再び群をなす

$ G/H \times G/H \rightarrow G/H

$ (xH)(yH) := xyH (x,y \in G)

$ xH = x'H,yH = y'H \Rightarrow xhH = x'y'H

をいわなければならない

上の条件において

$ \exists h,h' \in H, x=x'h, y = y'h'

$ (y')^{-1}hy' \in H

以上より

$ xy = x'hy'h' = x'y' ((y')^{-1} hy')h' \in x'y'H

qed