多項式環は単項イデアル整域
定理
証明
$ Iを$ F\lbrack x \rbrackのイデアルとする（$ I \neq F\lbrack x \rbrack） まず、$ Iは0以外の定数を含まない
$ F\lbrack x \rbrackにおいて非零定数はすべて単元 $ Iのうち、0でない最小次数の多項式を一つ取り$ pとする
$ I = \langle p \rangleを示す
$ \langle p \rangle \subset Iは自明なので、$ I \subset \langle p \rangleを示せば良い
つまり、任意の$ f \in Iに対して、$ g \in F\lbrack x \rbrackが存在して$ f = pgとできることを示す
割り算のアルゴリズムにより、$ fを$ aで割れば
$ f = aq + r, \quad \deg(r) < \deg(a)を満たす、$ q, r \in F\lbrack x \rbrackが見つかる
$ r = f-aq \in Iだが、$ aは零でない最小次数な多項式なので、$ r = 0
よって、$ f = aq \in \lbrack a \rbrack
より抽象的な証明
これを使えば、
で終わり