ユークリッド整域は単項イデアル整域
定理
整域$ Dと次数写像$ d: D \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{N}が以下の性質を満たす 任意の零でない$ a, b \in Dに対して、$ d(ab) \geq d(a)
任意の$ a, b \in D（$ b \neq 0）に対して、$ q, r \in Dが存在して
$ a = qb + r, \qquad d(r) < d(b)
証明
$ a \in I \setminus \{0\}のうち、$ d(a)が最小になるような$ aを一つ取る
$ I = \langle a \rangleを示す
任意の$ x \in Iについて、$ y \in Dが存在して$ ay=xを示せば良い
割り算のアルゴリズムにより、$ xを$ aで割れば
$ x = aq + r, \quad d(r) < d(a)を満たす$ q, r \in Dが見つかる
このとき、$ r =0以外ありえない
変形して$ r = x-aqとすれば$ r \in I
$ aは$ Iで次数が最小な非零元だが、$ d(r) < d(a)
よって、$ x = aq \in \langle a \rangle