ユークリッド整域
定義
整域$ Dと次数写像$ d: D \setminus \rightarrow \mathbb{N}が以下の性質を満たす 任意の零でない$ a, b \in Dに対して、$ d(ab) \geq d(a)
任意の$ a, b \in D（$ b \neq 0）に対して、$ q, r \in Dが存在して
$ a = qb + r, \qquad d(r) < d(b)
例
性質
$ d = Aa + Bbとかけるってやつ
$ a=a_0, b=b_0 \in Dに対して、$ a_0 = q_0b_0 + r_0, \quad d(r_0) < d(b_0)
$ a_i = b_{i-1},\ b_i = r_{i-1}をして、繰り返せば列$ \{a_i\}, \{b_i\}が作れる
このとき、数列$ d(r_i) = d(b_{i+1})を考えると、これは真に降下する数列
しかし、下限があるので無限に続くことはなく、$ r_N = b_{N+1} =0で停止する
$ a_N = q_Nb_N