可換環の素イデアルの剰余環は整域

定理

単位的可換環$ Rとそのイデアル$ Iについて

$ Iが素イデアルであることと、剰余環$ R/Iが整域であることは同値

証明

$ \Leftarrow）剰余環$ R/Iを整域であると仮定し、$ Iが素イデアルであることを示す

任意の$ a, b \in Rについて、$ ab \in Iならば$ a \in Iか$ b \in Iであることを示せば良い

$ ab \in Iなので、$ (a+I)(b+I) = ab+I = 0+I

$ R/Iが整域なので、$ a+I = 0+Iか$ b+I = 0+Iである

つまり、$ a \in Iであるか$ b \in Iである

$ \Rightarrow）$ Iを素イデアルとか停止、$ R/Iが整域であることを示す

$ R/Iが零因子を持たないことを示せば良い

任意のイデアルに対して、$ R/Iは可換環

$ R/Iが零因子を持つと仮定する

$ (a+I)(b+I) = 0 + I

このとき$ (a+I)(b+I) = ab+I = 0+Iなので、$ ab \in Iである

$ Iを素イデアルと仮定したので、$ a \in I or $ b \in I

よって、$ a+I = 0+Iであるか$ b+I = 0+I

証明のイメージ

イデアルの世界と剰余環の世界を入れ替えながら証明してくイメージ

根本的な対応関係

イデアルの世界：$ a \in I

剰余環の世界：$ a+I = 0+I

証明の全体図

素イデアルの条件：$ a \in I or $ b \in I $ \leftrightarrow $ ab \in I

整域の条件：$ a + I = 0+I or $ b + I = 0+I $ \leftrightarrow $ (a+I)(b+I) = 0+I