可換環の極大イデアルの剰余環は体
定理
系
整数環$ \mathbb{Z}と素数$ pに対して、$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_pは体を成す（有限体） 証明
$ R/Iが体 $ \Rightarrow $ Iは極大（$ \Rightarrow）
示すべきこと：$ Iを含んで$ Iより大きなイデアル$ Jは$ R全体であること
$ R全体ではない$ Iよりお大きなイデアルは存在しないこと
方針：$ Jをそのようなイデアルと仮定して、$ J=Rを導く
このためには、$ 1 \in Jが言えれば良い
$ I \subsetneq Jなので、$ j \in Jかつ$ j \not\in Iな$ j \in Rが存在する
このとき、$ j+Iは$ R/Iにおいてnonzero
よって、逆元$ k+Iが存在して
$ (j+I)(k+I) = jk+I = 1+I
これより、$ 1-jk \in I \subset J
$ Jはイデアルなので、$ j \in Jより$ jk \in J
$ 1 - jkと$ jkが同時に$ Jに属するので、$ 1 \in Jとなる
よって、$ J=Rが言えた
$ Iが極大 $ \Rightarrow $ R/Iが体（$ \Leftarrow）
示すべきこと：任意のゼロでない$ a + I \in R/Iに対して、逆元$ a^{-1}+I \in R/Iが存在する ゼロでないとは、$ a \not\in Iと同値
このためには：$ 1 + I = ar + Iとなるような$ r\in Rが存在すれば良い
$ J = \{ar + i \mid r \in \R, i \in I\}はイデアル
任意の$ s \in Rに対して、$ s(ar+i) = asr + si \in Jを示せばよい
$ sr \in Rかつ$ si \in Iなので、$ asr + si \in J
$ Jは$ Iを真に含む
$ r=0とすれば、$ I \subset Jがわかる
$ a \notin Iだが、$ a \in Jなので、$ I \neq J
$ i=0, $ r=1とすれば$ a \in J
$ Iは極大イデアルなので、$ Iを真に含むイデアル$ Jは$ Rに等しい
極大イデアルの定義
よって、$ 1\in Jなので、$ 1 = ar + iとかける（$ r \in R, $ i \in I）
$ 1 + I = ar + i + I = ar + I = (a+I)(r+I)となるので、$ a+Iは逆元$ r+Iを持つ
$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}（$ n：not prime）
どのような元が逆元を持たないのか？