指数分布

待ち時間を確率変数X時間とすると、

$ P(X\leq x)=1-2^{-x}

が成立するといえる。

1時間をn等分して離散化するとき、nを大きくしていった極限を考えれば、Xが取りうる値は連続的に存在している。

一般に、適当な条件を持つ現象の待ち時間をXとすると、

$ P(X\leq x)=1-\exp(-\lambda x)=:\mathrm{Exp}(\lambda)

と書ける。

\lambda=\log2

さっきの式の2をe^λで置き換えたのがexp(λ)だからそんな計算はいらん。

一般に、

指数分布の図示

$ P(Z\leq z)=\sum_{t\leq z}P(Z=t)

が有効であったのに対応して、

離散だから足し算してた

$ P(X\leq x)=\int_{-\infin}^xf(t)dt

となるようなf(x)を考えることにする。

そもそもここでいう指数は0<P<1なので単調減少

一般化して書くためだと思う

x以下の部分の面積がX<=xとなる確率である。

が成立する。

f(x)はX=xとなる確率ではないことに注意。

$ F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{-\infin}^{x}f(t)dt=f(x)

なので、累積分布関数の導関数が密度関数fとなる。

$ F(x)\begin{cases}1-\exp(-\lambda x)&&(x\geq 0)\\0&&(x<0)\end{cases}

故障時間の期待値

ある機械の故障は偶発故障が多い

初期故障と摩耗故障の割合は無視できる

この機械が故障するまでの時間の期待値はいくらか

Tの単位は日だが実数を動く

Tの整数部分をKとし、K日目に故障するとする

すなわちTを離散化し、整数の値を取る確率変数Kを導入する

このときk = 1, 2, ......に対し、k日目に故障する確率は

$ P(K=k)=P(k\leq T< k+1)=F(k+1)-F(k)

よってKの期待値は

$ E(K)=\sum_{k=0}^{\infin}k(F(k+1)-F(k))

そこで、1日をn分割すると、

累積分布関数の定義から

$ \sum_{k=0}^\infin\frac{k}{n}\left(F\left(\frac{k+1}n\right)-F\left(\frac{k}n\right)\right)\approx\sum_{k=0}^\infin\frac{k}n f\left(\frac{k}n\right)\frac{1}n

$ \therefore h\cdot F'(x)\approx F(x+h)-F(x)

h = 1/n、x = k/nとすると

$ F\left(\frac{k+1}n\right)-F\left(\frac{k}n\right)\approx f\left(\frac{k}n\right)\frac{1}n

$ \sum_{k=0}^\infin\frac{k}n f\left(\frac{k}n\right)\frac{1}n=\sum_{k=0}^\infin x_kf(x_k)\cdot\Delta x\approx \int_0^\infin xf(x)dx

いやあんまりわかってない

定義