区分求積法
定積分を和の極限として求めること。
https://www.youtube.com/watch?v=IpDwmTGmCyo
$ \lim_{n\rightarrow \infin}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx
『数学Ⅲ』（数研出版）.icon
y=x^2とx軸およびx=1で囲まれた部分の面積Sは
$ S=\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}
一方、
区間$ [0, 1] をn等分して作ったn個の長方形の面積の和を$ S_nとすると
$ n\rightarrow \infinのとき$ S_nはSに限りなく近づくことが予想される。
実際に、
$ S_n=\frac{1}{n}\left\{0+\left(\frac{1}{n}\right)^2+\left(\frac{2}{n}\right)^2+\dots+\left(\frac{n-1}{n}\right)^2\right\}
$ =\frac{1}{n^3}\{1^2+2^2+\dots+(n-1)^2\}
$ =\frac{1}{n^3}\cdot\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)
$ = \frac{1}{6}(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})
$ \therefore S_n=\frac{1}{3}=S
$ y=f(x)が閉区間 $ [a, b]で連続で、常に$ f(x)\geq 0であるとき、
$ y=f(x)のグラフとx軸、およびx=aとx=bで囲まれた部分の面積をSとする。
区間$ [a, b] をn等分して、
その両端と分点を順に$ a=x_0,x_1,x_2,\dots,x_n=bとする
$ \Delta x=\frac{b-a}{n}とおくと、$ x_k=a+k\Delta xであり、
和$ S_nは
$ S_n=\Delta x\{f(x_0)+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\}
$ = \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x
ここで$ n\rightarrow \infinとするとS_nはSに限りなく近づく
一方、$ S=\int_a^bf(x)dxであるから
$ S=\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infin}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta x
これは$ \forall x, f(x)\ge 0を仮定しなくても、閉区間で連続ならば一般に成り立つ。
$ a=0, b=1とすると
$ \Delta x=\frac{1}{n},x_k=\frac{k}{n}となり、
$ a=0, b=1であることと$ \Delta x=\frac{1}{n},x_k=\frac{k}{n}であることは同値
$ S=\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infin}\frac{1}n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)
ここで区間が自動的に0と1になることに納得がいかないんだよなー