幾何分布

『確率統計入門:モデル化からその解析へ』.icon

p25

ログイン状態のときにランダムにアイテムが送られるゲームで、

（アイテムが贈られる=当たる、とすると）

1時間以内に当たる確率は1/2と言われている。

少なくとも1つのアイテムが当たる確率を9/10以上にするためにはどれだけの時間が必要か？

「ランダムに当たる」を次のように解釈する。

時間を長さ1秒の区間に分けるとき、

各区間に当たる確率は常にpで、

当たるかどうかは区間ごとに独立に定まり、

一つの区間内で2回以上当たることはない。

pは0<p<1を満たす実数

1時間=3600秒以内に当たる確率が1/2であることから、pを求めることができる。

そのpに対して、当たる確率が9/10以上となる時間を求めて、近似的な解答とする。

1秒目で初めて当たる確率はp

2秒目で初めて当たる確率は(1-p)p

同様に考えて、k<=1を満たす自然数の定数kに対して、k秒目で初めて当たる確率は(1-p)^(k-1)pである。

1時間以内に当たるという事象は、これらの事象の和

これらはすべて排反であるから、

1時間以内に当たる確率は、これらの確率の和で

$ \sum_{k=1}^{3600}(1-p)^{k-1}p=p\cdot\frac{1-(1-p)^{3600}}{1-(1-p)}

初項p公比(1-p)項数3600、0<p<1から

$ =1-(1-p)^{3600}

$ (1-p)^{3600}=\frac{1}2

$ (1-p)^{3600}=\frac{1}2

$ 1-p=\frac{1}2^{1/3600}

両辺の3600乗根を取る

$ p=1-\frac{1}2^{1/3600}

$ \approx 0.0001925223

また、x時間以内に当たる確率は

$ \sum_{k=1}^{3600x}(1-p)^{k-1}p=1-(1-p)^{3600x}=1-2^{-x}

(1-p)=(1/2)^(1/3600)より、(1-p)^3600x =( 2^(-1/3600))^3600x=2^(-x)

であり、これが9/10以上であることから、

この不等式を解いて、

$ 2^{-x}\leq \frac{1}{10}

両辺自然対数（常用対数のほうが良さそうだ）を取って

$ \log2^{-x}\leq \log10^{-1}

$ -x\log2\leq -\log10

$ x\log2\geq \log10

$ x\geq \frac{\log10}{\log2}\approx 3.321928

よって3.3時間待てば良い。

$ P(Z=z)=(1-p)^{z-1}p\quad(z=1, 2, 3,\dots)

Zを確率変数(random variable)

zは実現値(realization)、または標本(sample)

pはパラメータ(parameter)

Geo(p)と表す。

参考