極限 - 雑多な感じ

極限

signature.icon

code:sig

definition.icon

WIP.icon

https://gyazo.com/4ad79ee0f7352803d929b96499b39b05

極限$ \langle \lim T , \pi \rangle : $ \Delta から$ T への右普遍射

where

添字圏 index category

$ J : 圏

図式 diagram

$ T\colon J \to C : 函手

$ \pi \colon (\lim T).\Delta \Rightarrow T : 普遍な自然変換

where

$ \Delta \colon C \to C^J : 対角函手

equal.icon

右普遍射なのでコンマ圏$ \Delta ↓ \left\lang T \right\rang^♯ の終対象と同一視できる

さらにこのコンマ圏は錐の圏に同型

etc.icon

極限は同型を除いて一意

極限のシャープ格上げ $ (\lim T)^♯ \colon 1 → C は$ ! に沿った$ T の右Kan拡張

$ (\lim T)^♯ =\ \operatorname{Ran}_! T\colon 1 \to C

https://gyazo.com/16330817abd7107f6c6bad4f45d07ce0