topic:めぐるめぐるよ議論はめぐる

2023/3/25

極限$ \lim T

$ \langle \lim T \colon C, \pi \colon (\lim T).\Delta \Rightarrow T \rangle

対角函手$ \Delta \colon C \to C^J から$ \lang T \rang \colon C^J への右普遍射

$ \lang \pi \rang \colon \lang (\lim T).\Delta \rang \to \lang T \rangle は$ C^J の射

対角函手は終対象への射$ !\colon J \to 1 のマエ結合函手と同一視できる

$ \Delta = {\sharp}\ast {!^{*}} = \lang {!} \ast\_^\sharp \rang \colon C \to C^J

ここを定義として使わなければループしない？

$ \Delta \dashv \lim

極限のシャープ格上げ $ (\lim T)^♯ \colon 1 → C は終対象への射$ ! に沿った$ T の右Kan拡張

$ (\lim T)^♯ =\ \operatorname{Ran}_! T\colon 1 \to C

https://gyazo.com/16330817abd7107f6c6bad4f45d07ce0

$ !^* \dashv (\lim * ♯)

同型なので