剛体力学の基礎，慣性テンソルとオイラーの運動方程式の導出

以下の二つの正規直交系を考える：

慣性系 $ \Sigma \left\{ O, e_i \right\} ，剛体に固定された座標系 $ \Sigma' \left\{ O'(t) , e'_i (t) \right\} （$ O' は剛体の重心）

剛体を構成する物質点の $ O と $ O' からの相対的な位置ベクトルをそれぞれ， $ r(t)と $ \bar{r} (t) = r(t) - O'(t) と書く．

速度と加速度は $ v, a で表す．

剛体内部の密度を $ \rho とする．

剛体の重心は $ O' と一致とする：

code:tex

\int \rho \bar{r} dv = 0 .

重心としての意味を強調するため $ r_{cm} = O'(t) も使う．

本稿の議論では質点の力学にける重心座標と相対座標への分離の知識を前提とする．

$ \Sigma と $ \Sigma' の基底変換は直交行列 $ R_{ij}(t) = e_i \cdot e'_j (t) を用いて $ r_i = R _{ij} r'_j のように表せる．

また角速度ベクトル $ \omega が存在し， $ R の時間微分は $ \dot{R} = {\rm Skew} ( \omega ) R と書ける see: Skew 外積行列, 回転(回転行列，クォータニオン)と時間微分．

回転座標系での時間微分の議論より see: 回転座標系の微分と遠心力・コリオリ力の導出，

絶対座標系と相対座標系での速度 $ v, \bar{v} はそれぞれ，

code:tex

\begin{aligned}

v & = v_{cm} + \frac{d^* \bar{r}}{dt} + \omega \times \bar{r} = v_{cm} + \omega \times \bar{r} \\

\because & ~ 剛体なので \frac{d^* \bar{r}}{dt} = 0 \\

\bar{v} & = v - v_{cm} = \omega \times \bar{r} .

\end{aligned}

$ O まわりの角運動量 see: 質点の力学にける重心座標と相対座標への分離：

code:tex

\begin{aligned}

& = \int r \times \rho v ~ dv \\

& = L_{cm} + \bar{L} \\

& = r_{cm} \times M v_{cm} + \int \bar{r} \times \rho \bar{v} ~ dv \\

& = r_{cm} \times M v_{cm} + \int \rho \bar{r} \times \left( \omega \times \bar{r} \right) ~ dv \\

& = r_{cm} \times M v_{cm} + \int \rho \left( | \bar{r} |^2 {\boldsymbol I} - \bar{r} \otimes \bar{r} \right) \omega ~ dv \quad \because \left( a \times b \right) \times c = ( a \cdot c ) b - (b \cdot c ) a \\

& = r_{cm} \times M v_{cm} + J \omega .

\end{aligned}

$ J = \int \rho \left( | \bar{r} |^2 {\boldsymbol I} - \bar{r} \otimes \bar{r} \right) dv を慣性テンソルと呼ぶ．

テンソル積 $ \otimesについてはベクトルの演算暗記シートを参照されたし．

第一項は重心の角運動量 $ L_{cm} = r_{cm} \times M v_{cm} で，第二項は重心周りの角運動量 $ \bar{L} = J \omega を表す．それぞれの時間微分は各物質点に働く力 $ f とそれの和 $ F = \int f dv となる（ see: 質点の力学にける重心座標と相対座標への分離）．

code:tex

\begin{aligned}

\frac{ d L_{cm}}{dt} & = r_{cm} \times F \\

\frac{ d \bar{L} }{dt} & = \int \bar{r} \times f ~ dv .

\end{aligned}

回転座標系の微分と遠心力・コリオリ力の導出での議論を参考に，$ \Sigma' に関する相対導関数を用いると，

code:tex

\frac{d ( J \omega )} {dt} = \frac{d^* (J \omega )}{dt} + \omega \times \left( J \omega \right) = J \frac{d^* \omega }{dt} + \omega \times \left( J \omega \right). \quad \because J の \Sigma' での成分は不変

これがオイラーの運動方程式である．

また，運動エネルギーは下のように記述できる：

code:tex

\begin{aligned}

\frac{1}{2} \int \rho \left| v \right|^2 ~ dv = \frac{1}{2} M | v_{cm} |^2 + \frac{1}{2} \omega \cdot J \cdot \omega ,

\end{aligned}

導出には

$ | v |^2 = |v_{cm}|^2 + 2 v_{cm} \cdot ( \omega \times \bar{r} ) + | \omega \times \bar{r} |^2

$ \int \rho \bar{r} dv = 0

$ | \omega \times \bar{r}|^2 = \omega \cdot ( \bar{r} \times ( \omega \times \bar{r} ) ) \quad \because ( a \times b ) \cdot c = a \cdot ( b \times c )

を用いた．