ベクトルの演算暗記シート

$ \left\lbrace {\boldsymbol e} _ i \right\rbrace (i = 0,1,2) を正規直交基底とし，以下は正規直交座標系を仮定する．

座標の選択が重要でないときは$ {\boldsymbol v} =\begin{pmatrix}v _ 0 \\v _ 1 \\v _ 2\end{pmatrix},\left( v _ i \right)のように幾何ベクトルと座標ベクトルの表示を$ =で結ぶ．

内積：

$ {\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol b} = \left( a _ i {\boldsymbol e} _ i \right) \cdot \left( b _ j {\boldsymbol e} _ j \right) = a _ i b _ j {\boldsymbol e} _ i \cdot {\boldsymbol e} _ j = a _ i b _ j \delta _ {ij} = a _ i b _ i．

座標ベクトルを用いると$ {\boldsymbol a}^\top {\boldsymbol b} = \begin{pmatrix} a _ 0, a _ 1, a _ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b _ 0 \\ b _ 1 \\ b _ 2 \\ \end{pmatrix}．

この内積から誘導されるノルムは，$ \left\| {\boldsymbol a } \right\|^2 = {\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol a}．

２つのベクトルのなす角 $ \theta は$ \cos \theta = \frac{ {\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol b} }{\left\| {\boldsymbol a} \right\| \left\| {\boldsymbol b} \right\|} で定義される．

外積（クロス積，ベクトル積）：

$ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} = \left( \left\| {\boldsymbol a} \right\| \left\| {\boldsymbol b} \right\| \right) \sin \theta \ {\boldsymbol n}，

ここで，$ \theta は$ {\boldsymbol a}と$ {\boldsymbol b} のなす角度，$ {\boldsymbol n}は$ {\boldsymbol n} \perp {\boldsymbol a}, {\boldsymbol n} \perp {\boldsymbol b} を満たす単位ベクトルで，$ {\boldsymbol n} の指す方向から見たときに $ {\boldsymbol a} を半時計回りに $ \theta 回すと $ {\boldsymbol b} と一致するもの(あるいは$ \left\lbrace {\boldsymbol a}, {\boldsymbol b}, {\boldsymbol n} \right\rbrace が右手系となるもの)である．

$ {\boldsymbol a} \parallel {\boldsymbol b} あるいは$ {\boldsymbol a} と $ {\boldsymbol b} のどちらかが零ベクトルのときは $ {\boldsymbol n} が定まらないが $ \sin \theta = 0 なので $ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} = 0 となる．

成分表示は

$ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} = \begin{cases} \begin{pmatrix} a _ 1 b _ 2 - a _ 2 b _ 1 \\ a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \\ a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 \end{pmatrix} & 右手系 \\ - \begin{pmatrix} a _ 1 b _ 2 - a _ 2 b _ 1 \\ a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \\ a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 \end{pmatrix} & 左手系 \end{cases}

$ \epsilon _ {ijk} を用いると

$ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} = \begin{cases} a _ i b _ j \epsilon _ {ijk} {\boldsymbol e} _ k & 右手系 \\ - a _ i b _ j \epsilon _ {ijk} {\boldsymbol e} _ k & 左手系 \end{cases}

外積の幾何的な定義から成分の計算式を導出する

外積は行列とベクトルの乗算で表現できる：

$ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} = \pm \left( \epsilon _ {ijk} a _ j b _ k \right) = \pm \begin{pmatrix} 0 & -a _ 2 & a _ 1 \\ a _ 2 & 0 & -a _ 0 \\ -a _ 1 & a _ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b _ 0 \\ b _ 1 \\ b _ 2 \end{pmatrix} = \pm {\rm Skew} \left( {\boldsymbol a} \right) \begin{pmatrix} b _ 0 \\ b _ 1 \\ b _ 2 \end{pmatrix}

→ Skew 外積行列

$ \begin{aligned} {\boldsymbol a} \times \left( {\boldsymbol b } \times {\boldsymbol c} \right) & = - \left( {\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c} \right) \times {\boldsymbol a} \\ & = - \left( {\boldsymbol b} \cdot {\boldsymbol a} \right) {\boldsymbol c} + \left( {\boldsymbol c } \cdot {\boldsymbol a} \right) {\boldsymbol b} \end{aligned}

スカラー三重積：

$ \begin{aligned} \left| {\boldsymbol a}, {\boldsymbol b}, {\boldsymbol c} \right| = \left( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b}\right) \cdot {\boldsymbol c} \\ = \left( {\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c}\right) \cdot {\boldsymbol a} \\ = \left( {\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a}\right) \cdot {\boldsymbol b} \end{aligned}

これは各ベクトルを列ベクトルにした行列の行列式と一致

code:latex

\begin{aligned}

| ( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} ) , ({\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c} ) , ({\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} ) | &= ( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} ) \cdot \{ ({\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c} ) \times ({\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} ) \} \\

&= \{ ( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} ) \cdot {\boldsymbol c} \} \{ {\boldsymbol b} \cdot ( {\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} ) \} \quad \because ({\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c} ) \times ({\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} ) を展開し、 {\boldsymbol c} \times ({\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} ) を消去する \\

&= | {\boldsymbol a}, {\boldsymbol b}, {\boldsymbol c} |^2

\end{aligned}

ベクトル三重積：

$ \begin{aligned} \left( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} \right) \times {\boldsymbol c} & = \epsilon _ {ijk} \epsilon _ {jmn} a _ m b _ n c _ k \\ & = \epsilon _ {ikj} \epsilon _ {nmj} a _ m b _ n c _ k \\ & = \left( \delta _ {in} \delta _ {km} - \delta _ {im} \delta _ {kn} \right) a _ m b _ n c _ k \\ & = b _ i a _ k c _ k - a _ i b _ k c _ k \\ & = \left( {\boldsymbol a } \cdot {\boldsymbol c } \right) {\boldsymbol b } - \left( {\boldsymbol b} \cdot {\boldsymbol c} \right) {\boldsymbol a} \end{aligned}

see: テンソル解析の δとε

外積のヤコビの恒等式

$ {\boldsymbol a} \times \left( {\boldsymbol b} \times {\boldsymbol c} \right) + {\boldsymbol b} \times \left( {\boldsymbol c} \times {\boldsymbol a} \right) + {\boldsymbol c} \times \left( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} \right) = 0

ラグランジュ恒等式

code:latex

\begin{aligned}

( {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} ) \cdot ( {\boldsymbol c} \times {\boldsymbol d} ) &= \epsilon_{ikl} a_k b_l \epsilon_{ipq} c_p d_q \\

&= ( \delta_{kp} \delta_{lq} - \delta_{kq}\delta_{lp} ) a_k b_l c_p d_q \\

&= a_k c_k b_l d_l - a_k d_k b_l c_l \\

&= ({\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol c})({\boldsymbol b} \cdot {\boldsymbol d}) - ({\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol d})({\boldsymbol b} \cdot {\boldsymbol c})

\end{aligned}

see: テンソル解析の δとε

Outer product：

$ {\boldsymbol a} \otimes {\boldsymbol b} = \left( a _ i b _ j \right)

２つのベクトルのテンソル積，外積と訳されるが，クロス積とは異なる演算である．

座標ベクトルを用いると

$ {\boldsymbol a} {\boldsymbol b}^\top = \begin{pmatrix} a _ 0 \\ a _ 1 \\ a _ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b _ 0, b _ 1, b _ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a _ 0 b _ 0 , a _ 0 b _ 1 , a _ 0 b _ 2 \\ a _ 1 b _ 0 , a _ 1 b _ 1 , a _ 1 b _ 2 \\ a _ 2 b _ 0 , a _ 2 b _ 1 , a _ 2 b _ 2 \end{pmatrix}