Skew 外積行列

$ {\rm Skew} \left({\boldsymbol a} \right) = \epsilon_{ijk} a_j =\begin{pmatrix} 0 & -a _ 2 & a _ 1 \\ a _ 2 & 0 & -a _ 0 \\ -a _ 1 & a _ 0 & 0 \end{pmatrix} はベクトルから歪対称行列(skew-symmetric matrix)を作る演算

Note:

$ {\rm Skew}({\boldsymbol a}) {\boldsymbol b}は右手系における外積 $ {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b}の成分表記となる．

ほとんどの文献ではを右手系・左手系の違いによる符号の変化を考慮せずに右手系の外積となるように定義していた．

$ {\rm Skew} \left( {\boldsymbol v} \right)は，$ {\boldsymbol v}_{\times} ，$ \hat{{\boldsymbol v}} ， $ {\boldsymbol V} と表記されることもある．

べんりなやつら：

$ {\boldsymbol V} {\boldsymbol v} = {\boldsymbol v} \times {\boldsymbol v} = 0

$ \begin{aligned} {\boldsymbol V}{\boldsymbol V} & = \left( \epsilon_{ipk} v_p \epsilon_{kqj} v_q \right) \\ & = \left( \epsilon_{ipk} v_p \epsilon_{qjk} v_q \right) \\ & = \left( \delta_{iq} \delta_{pj} - \delta_{ij} \delta_{pq} \right) v_p v_q \\ & = v_i v_j - \delta_{ij} v_k v_k \\ & = {\boldsymbol v} \otimes {\boldsymbol v} - \left\| {\boldsymbol v} \right\|^2 {\boldsymbol I} \end{aligned}

$ {\boldsymbol V}{\boldsymbol V}{\boldsymbol V} = \underbrace{ {\boldsymbol V} {\boldsymbol v} {\boldsymbol v}^{\top}}_{0} - {\boldsymbol V} = - {\boldsymbol V}

$ \begin{aligned} {\rm Skew} \left( {\boldsymbol v} \right) & = \epsilon_{ijk} v_j \\ & = \det {\boldsymbol R} ~ ~ R_{pi} R_{qj} R_{rk} \epsilon_{pqr} v_j \\ & = \det {\boldsymbol R} ~ ~ R_{pi} \epsilon_{pqr} R_{qj} v_j R_{rk} \\ & = \det {\boldsymbol R} ~ ~ {\boldsymbol R}^\top ~ {\rm Skew} \left( {\boldsymbol R} {\boldsymbol v} \right) {\boldsymbol R} \end{aligned}

最後の式は直交行列$ {\boldsymbol R}について，$ \epsilon_{lmn} = \det {\boldsymbol R} R_{il}R_{jm}R_{kn} \epsilon_{ijk}が成り立つことを用いた（see: テンソル解析の δとε），この変換は基底変換->外積->基底変換と解釈できる．