外積の幾何的な定義から成分の計算式を導出する
外積の幾何的な定義から成分を導出する．
$ {\boldsymbol a} と $ {\boldsymbol b} を非零かつ平行でないベクトルとする．
$ {\boldsymbol c} = {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} の成分を求める，
直交性の条件は
$ \begin{aligned} a _ 0 c _ 0 + a _ 1 c _ 1 + a _ 2 c _ 2 & = 0 & (1)\\ b _ 0 c _ 0 + b _ 1 c _ 1 + b _ 2 c _ 2 & = 0 & (2) \end{aligned}
で表される．
まず，$ c _ 2 = 0 \iff a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 = 0 が成り立つことを示す．
Proof
(1),(2)の2つの連立線型方程式は
$ \begin{pmatrix} a _ 0 & a _ 1 \\ b _ 0 & b _ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c _ 0 \\ c _ 1 \end{pmatrix} =-c _ 2 \begin{pmatrix} a _ 2 \\ b _ 2 \end{pmatrix}と書ける．
$ c _ 2 = 0 のとき，右辺が0，$ \left( c _ 0, c _ 1 \right)^\topは非零ベクトルなので（$ \because {\boldsymbol c} \neq {\boldsymbol 0}），この線型方程式は非零の解を持つ．
したがって，$ {\rm det} \begin{pmatrix} a _ 0 & a _ 1 \\ b _ 0 & b _ 1 \end{pmatrix} = a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 = 0が成り立つ．
逆に$ a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 = 0のとき，$ \left( a _ 0 , a _ 1 \right)^\top \propto \left( b _ 0 , b _ 1 \right)^\topあるいはいずれかが零ベクトルである．
前者の場合，$ c _ 2 \neq 0とすると$ \left( a _ 0 , a _ 1 , a _ 2 \right)^\top \propto \left( b _ 0 , b _ 1 , b _ 2 \right)^\topとなり$ {\boldsymbol a}と$ {\boldsymbol b}が平行でないという条件と矛盾する．
後者の場合，例えば$ a _ 0 = a _ 1 = 0のとき，$ c _ 2 \neq 0とすると$ a _ 3 = 0なので$ {\boldsymbol a} \neq {\boldsymbol 0}に矛盾する．
したがって，$ c _ 2 = 0 \iff a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 = 0である． $ \Box
外積の成分表記の導出に話を戻すと，
$ c _ 2 = 0 \iff a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 = 0 より $ c _ 0 = \alpha \left( a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 \right) となる実数 $ \alpha \neq 0 が存在し，
$ b _ 0 \times (1) - a _ 0 \times (2)，$ b _ 1 \times (1) - a _ 1 \times (2) として$ c _ 0，$ c _ 1を消去して得られる連立方程式
$ \begin{aligned} \left( a _ 1 b _ 0 - a _ 0 b _ 1 \right) c _ 1 + \left( a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \right) c _ 2 = 0 \\ \left( a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 \right) c _ 0 + \left( a _ 2 b _ 1 - a _ 1 b _ 2 \right) c _ 2 = 0 \end{aligned}
は，
$ \begin{aligned} - \frac{c _ 2}{\alpha} c _ 1 + \left( a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \right) c _ 2 = 0 \\ \frac{c _ 2}{\alpha} c _ 0 + \left( a _ 2 b _ 1 - a _ 1 b _ 2 \right) c _ 2 = 0 \end{aligned}
と表せる．
$ c _ 2 \neq 0 のとき，
$ \begin{aligned} c _ 1 = \alpha \left( a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \right) \\ c _ 0 = \alpha \left( a _ 1 b _ 2 - a _ 2 b _ 1 \right) \end{aligned}
したがって，
$ \begin{pmatrix} c _ 0 \\ c _ 1 \\ c _ 2 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} a _ 1 b _ 2 - a _ 2 b _ 1 \\ a _ 2 b _ 0 - a _ 0 b _ 2 \\ a _ 0 b _ 1 - a _ 1 b _ 0 \end{pmatrix}
これは$ c _ i = \alpha \ \epsilon _ {ijk} a _ j b _ k と書ける．
$ c _ 2 = 0 のとき， $ c _ 0 \neq 0 あるいは $ c _ 1 \neq 0 なので，同様の議論ができる．
$ {\boldsymbol c}の向きがわかったので，長さの条件から$ \alpha を求める．
外積の定義より
$ \begin{aligned}{} \left\| {\boldsymbol c} \right\|^2 & = \left\| {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} \right\|^2 \\ & = \left\| {\boldsymbol a} \right\|^2 \left\| {\boldsymbol b} \right\|^2 \sin^2 \theta \\ & = \left\| {\boldsymbol a} \right\|^2 \left\| {\boldsymbol b} \right\|^2 \left( 1 - \cos^2 \theta \right) \\ & = \left\| {\boldsymbol a} \right\|^2 \left\| {\boldsymbol b} \right\|^2 - \left\| {\boldsymbol a} \right\|^2 \left\| {\boldsymbol b} \right\|^2 \cos^2 \theta \\ & = \left\| {\boldsymbol a} \right\|^2 \left\| {\boldsymbol b} \right\|^2 - \left( {\boldsymbol a} \cdot {\boldsymbol b} \right)^2 \\ & = \left( a _ i a _ i \right) \left( b _ i b _ i \right) - \left( a _ i b _ i \right)^2 \end{aligned}
である．
一方で，さきほど求めた成分表記から
$ \begin{aligned} \left\| {\boldsymbol c} \right\|^2 & = \alpha^2 c^2 _ i \\ & = \alpha^2 \epsilon _ {ijk} a _ j b _ k \epsilon _ {ilm} a _ l b _ m \\ & = \alpha^2 \left( \delta _ {jl} \delta _ {km} - \delta _ {jm} \delta _ {kl} \right) a _ j b _ k a _ l b _ m \\ & = \alpha^2 \left( a _ j a _ j b _ k b _ k - a _ j b _ j a _ k b _ k \right) \\ & = \alpha^2 \left( ( a _ j a _ j ) ( b _ k b _ k ) - ( a _ j b _ j )^2 \right) \end{aligned}
よって$ \alpha=\pm 1である．
右手系の場合，外積の幾何的な定義より$ \left( {\boldsymbol e} _ i \times {\boldsymbol e} _ j \right) \cdot {\boldsymbol e} _ k = \epsilon _ {ijk}であるため $ \alpha = 1 ．一方で左手系の場合は $ \alpha = -1 となる．
証明おわりーぬ（∪^ω^）
ちなみに，正規直交基底の基底ベクトル $ {\boldsymbol e} _ i 同士の外積は幾何的な定義より
$ {\boldsymbol e} _ i \times {\boldsymbol e} _ j = \begin{cases} \epsilon _ {ijk} {\boldsymbol e} _ k & 右手系 \\ -\epsilon _ {ijk} {\boldsymbol e} _ k & 左手系 \end{cases}
もし外積の分配法則が幾何学的に証明できら，これを用いれば成分表記が導ける：
$ \begin{aligned} {\boldsymbol a} \times {\boldsymbol b} & = & \left( a _ i {\boldsymbol e} _ i \right) \times \left( b _ j {\boldsymbol e} _ j \right) & & \\ & = & a _ i b _ j {\boldsymbol e} _ i \times {\boldsymbol e} _ j & \ & ( \because 外積の分配法則 ) \\ & = & \pm a _ i b _ j \epsilon _ {ijk} {\boldsymbol e} _ k . & & \end{aligned}