質点の力学にける重心座標と相対座標への分離

以下，位置を $ r で表したとき，対応する速度と加速度は $ vと$ a で表示する．

質点 point mass とは，質量を持つが大きさを持たない仮想的な粒子のこと．

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$ i 番目の質点の質量を $ m_i ，原点 $ O からの相対的な位置ベクトルを $ r_i とする．

質量の和を

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M = \sum_i m_i ,

で表し，重心の位置ベクトルは

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r_{cm} = \frac{ \sum m_i r_i }{ \sum m_i}

と書く．

重心からの相対的な位置ベクトルを $ \bar{r}_i = r_i - r_{cm} と書く（速度や加速度についても同様）．

$ i 番目の質点に働く力について，$ j 番目の質点からの力を $ f_{ij} ，系の外部から働く力を $ f_i とする．

作用反作用の法則より， $ f_{ij} = - f_{ji} と $ f_{ij} \parallel r_i - r_j が成り立つ．

外力の和を $ \sum_i f_i = F とする．

運動方程式は

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m_i a_i = f_i + \sum_{j \neq i} f_{ij} .

これを $ i について足し合わせると重心座標の運動方程式になる．

ここでは，内力が相殺され，

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\sum_i m_i a_i = M a_{cm} = \sum_i f_i + \sum_i \sum_{j \neq i} f_{ij} = \sum_i f_i = F

と記述できる．

また，相対位置の運動方程式は

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m_i \bar{a}_i = m_i ( a_i - a_{cm} ) = f_i + \sum_{j \neq i} f_{ij} - \frac{m_i}{M} F ,

と記述できる．

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線形運動量の和：

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\sum_i m_i v_i = M v_{cm} .

一方で，

code:tex

\sum_i m_i v_i = \sum_i m_i \left( \bar{v}_i + v_{cm} \right) = \sum_i m_i \bar{v}_i + \sum_i m_i v_{cm} = \sum_i m_i \bar{v}_i + M v_{cm} .

よって， $ \sum_i m_i \bar{v}_i = 0 ，相対位置の線形運動量の和は 0 ．

原点 $ O 周りの角運動量の和：

code:tex

\begin{aligned}

& = \sum r_i \times m_i v_i \\

& = \sum_i ( \bar{r}_i + r_{cm} ) \times m_i ( \bar{v}_i + v_{cm} ) \\

& = \sum_i \bar{r}_i \times m_i \bar{v}_i + \sum_i r_{cm} \times m_i v_{cm} \quad \because \sum_i \bar{r}_i = 0, ~ \sum_i m_i \bar{v}_i = 0 \\

& = \sum_i \bar{r}_i \times m_i \bar{v}_i + r_{cm} \times M v_{cm} \\

& = \bar{L} + L_{cm} .

\end{aligned}

重心周りの角運動量 $ \bar{L} と重心の角運動量 $ L_{cm} に分離できる．

$ L を時間微分する：

code:tex

\begin{aligned}

\frac{ d L}{dt}

& = \frac{d}{dt} \left( \sum_i r_i \times m_i v_i \right) \\

& = \sum_i v_i \times m_i v_i + \sum_i r_i \times m_i a_i \\

& = \sum_i r_i \times f_i + r_i \times \sum_{j \neq i} f_{ij} \\

& = \sum_i r_i \times f_i \\

& \because \sum_i \sum_{j \neq i} r_i \times f_{ij} = \sum_{i < j} r_i \times f_{ij} + r_j \times f_{ji} = \sum_{i<j} (r_i - r_j) \times f_{ij} = 0 .

\end{aligned}

系の内力による角運動量の変化への寄与（＝トルク）はゼロであることがわかる．

一方で，$ \bar{L} と $ L_{cm} の時間微分とみると，

code:tex

\begin{aligned}

\frac{ d L }{dt}

& = \frac{d \bar{L}} {dt} + \frac{ d L_{cm}}{dt} \\

& = \sum_i \bar{r}_i \times m_i \bar{a}_i + r_{cm} \times M a_{cm} \quad \because \bar{v}_i \times \bar{v}_i = 0, v_{cm} \times v_{cm} = 0 \\

&= \sum_i \bar{r}_i \times f_i + r_{cm} \times F .

\end{aligned}

とも表すことができる（導出に用いた計算は後述）．

各点に働く外力はその点の重心周りの角運動量の変化に寄与し，また外力の和は重心の原点周りの角運動量の変化に寄与する．

そしてこの二つのトルクの和は，質点全体の原点周りの角運動量の時間微分でもある．

ちなみに導出には

code:tex

\begin{aligned}

\sum_i \bar{r}_i \times m_i \bar{a}_i & = \sum_i \bar{r}_i \times \left( f_i + \sum_{j \neq i} f_{ij} - \frac{m_i}{M} F \right) \\

&= \sum_i \bar{r}_i \times f_i + \sum_i \bar{r}_i \times \sum_{j \neq i} f_{ij} - \sum_i m_i \bar{r}_i \times \frac{1}{M} F \\

& = \sum_i \bar{r}_i \times f_i \\

& \because \sum_i \sum_{j \neq i} \bar{r}_i \times f_{ij} = \sum_{i < j} \bar{r}_i \times f_{ij} + \bar{r}_j \times f_{ji} = \sum_{i<j} (\bar{r}_i - \bar{r}_j) \times f_{ij} = 0 , \quad \sum_i m_i \bar{r}_i = 0 .

\end{aligned}

を用いた．

運動エネルギーの和：

code:tex

\frac{1}{2} \sum_i m_i | v_i |^2 = \frac{1}{2} \sum_i m_i | \bar{v}_i + v_{cm} |^2 = \frac{1}{2} \sum_i m_i | \bar{v}_i |^2 + \frac{1}{2} M | v_{cm} |^2 \quad \because \sum_i m_i \bar{v}_i = 0 .

参考文献

篠本滋, 坂口英継：力学基幹講座物理学，東京図書，2013.