回転座標系の微分と遠心力・コリオリ力の導出

以下の二つの正規直交系を考える：

慣性系 $ \Sigma \left\{ O, e_i \right\} ，回転座標系 $ \Sigma' \left\{ O , e'_i (t) \right\}

基底変換は直交行列 $ R_{ij}(t) = e_i \cdot e'_j (t) を用いて $ v_i = R _{ij} v'_j のように表す．

角速度ベクトル $ \omega が存在し， $ R の時間微分は $ \dot{R} = {\rm Skew} ( \omega ) R と書ける see: 回転(回転行列，クォータニオン)と時間微分．

任意のベクトル $ \boldsymbol{a} = a_i e_i = a'_j e'_j の時間微分は，

code:tex

\begin{aligned}

\dot{\boldsymbol a}

& = \dot{a}_i e_i \\

& = \dot{a}'_j e'_j + a'_j \dot{e}'_j \\

& = \dot{a}'_j e'_j + a'_j \dot{R}_{ij} e_i \\

& = \dot{a}'_j e'_j + a'_j \epsilon_{ilk} \omega_{l} R_{kj} e_i \\

& = \dot{a}'_j e'_j + \epsilon_{ilk} \omega_{l} a_k e_i \\

& = \dot{a}'_j e'_j + \omega \times \boldsymbol{a} \\

& = \frac{d^* \boldsymbol {a}}{dt} + \omega \times \boldsymbol{a} ,

\end{aligned}

となる．

$ \frac{d^* \boldsymbol{a} }{dt} = \frac{d a'_i}{dt} e'_i は回転座標系 $ \Sigma' に関する $ \boldsymbol {a} の相対導関数．これは必ずしも $ \frac{ d a'_j e_j}{dt} と一致しないので注意．

二回微分は，

code:tex

\begin{aligned}

\ddot{a}

& = \frac{d^{2*} {\boldsymbol a}}{dt^2} + \omega \times \frac{d^* {\boldsymbol a}}{dt} + \dot{\omega} \times {\boldsymbol a} + \omega \times \dot{\boldsymbol{a}} \\

& = \frac{d^{2*} {\boldsymbol a}}{dt^2} + \omega \times \frac{d^* {\boldsymbol a}}{dt} + \dot{\omega} \times {\boldsymbol a} + \omega \times \left( \frac{d^* {\boldsymbol a}}{dt} + \omega \times \boldsymbol {a} \right) \\

& = \frac{d^{2*} {\boldsymbol a}}{dt^2} + \dot{\omega} \times {\boldsymbol a} + 2 \omega \times \frac{d^* {\boldsymbol a}}{dt} + \omega \times ( \omega \times \boldsymbol {a} ) ,

\end{aligned}

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質点の質量を $ m ，位置ベクトルを $ \boldsymbol {r} とする．この質点に $ F で表される力が働いているとき，運動方程式は，

code:tex

m \frac{d^2 \boldsymbol {r}}{dt^2} = m \frac{d^{2*} {\boldsymbol r}}{dt^2} + m \frac{d \omega}{dt} \times {\boldsymbol r} + 2 m \omega \times \frac{d^* \boldsymbol {r} }{dt} + m \omega \times \left( \omega \times {\boldsymbol r} \right) = F.

一方で，$ \Sigma' での運動方程式は

code:tex

m \frac{d^{2*} \boldsymbol {r}}{dt^2} = F - m \frac{d \omega}{dt} \times {\boldsymbol r} - 2 m \omega \times \frac{d^* \boldsymbol {r} }{dt} - m \omega \times \left( \omega \times {\boldsymbol r} \right) ,

$ - 2 m \omega \times \frac{d^* {\boldsymbol r}}{dt} はコリオリ力，$ -m \omega \times \left( \omega \times {\boldsymbol r} \right) を遠心力と呼ぶ．

参考文献

田代嘉宏：テンソル解析基礎数学選書 23，裳華房，1981.