群 - bbr-math-memo

群

Group

単位元を持つ半群$ Gにおいて、以下が成り立つ時、$ Gを群と呼ぶ。

$ \forall x \in G, \exist y \in G, x \star y = y \star x = 1_G

$ \starは定義による二項演算子

$ 1_Gは$ Gにおける単位元

この時、$ yを$ xの逆元と呼び、$ x^{-1}と書く。

つまり「ある値に対して、逆元が常に存在していること」が半群にはない群の条件

必然的に以下の性質を持つ。

単位元を持つ。

逆元を持つ。

結合法則を満たす。