binary operation2つの数に対して演算をして新たな数を作るもの二項演算と呼ぶ。([二項関係]は2つの要素の関係性を示し、[二項演算]には2つの要素に対する演算結果がある。)一般的に使われているのは以下のようなものになる。他にもたくさんある。(定義しだい)[加算] [$ a + b]

Multiply[二項演算]の一つ掛ける数と掛けられる数という関係性があり、それぞれ乗数、被乗数と呼ばれる。一般に、(掛けられる数)×(掛ける数)と書かれる。演算子にはいくつか流儀がある。

Identity element[マグマ]で以下が満たされる[$ e]を単位元と呼ぶ[$ \forall x, x \star e = e \star x = x]([$ \star] は任意の[二項演算子])[二項演算]した時に、それを演算対象としても、結果が変わらないもの。

[二項演算]で、ある要素と同じ要素を演算したときに、結果が同じ要素になるもの。[$ a \star a = a \quad(\star は定義による)][実数]の[乗法]では0と1が冪等元になる。関連[冪等]

inverse element[マグマ]で、ある[$ a]に対して[$ a \star b = b \star a = e]([$ e]は[単位元])となる[$ b]のこと。[乗法]の場合、[$ b]は[$ a^{-1}]と表される。[加法]の場合は[反数]となり、[$ b]は[$ -a]と表される。https://ja.wikipedia.org/wiki/逆元

Group[単位元]を持つ[半群][$ G]において、以下が成り立つ時、[$ G]を群と呼ぶ。[$ \forall x \in G, \exist y \in G, x \star y = y \star x = 1_G][$ \star]は定義による[二項演算子][$ 1_G]は[$ G]における[単位元]

ring[四則演算]の定義を持つが、一部満たされない条件がある。[加法]を持つ。[乗法]を持つ。[交換法則]は満たさなくてもよい。

fieldfield theory「たい」[四則演算]が定義されている[数学的構造][加法]を持つ。

[乗法]の[数学的構造]を持つ集合#数学的構造

[加算]、[減算]、[乗算]、[除算]をまとめた用語[四則演算]

[$ a \times b = b \times a]乗算記号は通常は省略される。[$ ab = ba][乗算][単位元]との乗算は等しい。

似ているが[テンソル積]とは異なる。[行列]の乗算方法は以下のように定義されている。[$ A]が[$ m \times n]行列、[$ B]が[$ n \times p]行列の時[$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ]

そもそも[乗算]とはどういう計算なのか?[数直線]で理解するのがおそらく一番早い。[負の数で掛けるとはどういうことなのか?][負の数の足し算]

[加減乗除]のこと[加算] (足し算)[減算] (引き算)[乗算] (掛け算)[除算] (割り算)

→[乗算]

binary relation二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation)集合[$ A]と[$ B]に対して、それぞれの要素同士の間に何らかの関係[$ R]が定義される場合、その関係性は[$ A \times B]という[直積集合]の[部分集合]となる。ここではこの部分集合を[$ G]とする。[$ G]は集合[$ A]と[$ B]から要素[$ a]と要素[$ b]を取り出して[順序対][$ (a, b)]にしたものの集合になる。

[二項演算]で以下の関係が成り立つこと。(どちらか片方しか成り立たないことはある)形式1[$ k \star (a \circ b) = (k \star a) \circ (k \star b)]形式2[$ (k \star l) \circ a = (k \star a) \circ (l \star a)]

associative law[二項演算]で、以下のように、演算順を入れ替えても同じ値になること。[$ (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)]([$ \circ]は任意の[二項演算子])結合則、結合律とも呼ばれる。

commutative law[二項演算]の前後を入れ替えても同じ値になること[$ x \circ y = y \circ x]交換則、交換律とも呼ばれる。例

additionいわゆる[加算]と同じように取り扱える[二項演算]。二項演算子は[$ +]が使われる。要素2つを合わせたものを演算結果とするもの。自然数の加法の例

binary operator[二項演算]で使われる[演算子][$ a \star b]とした時の[$ \star]が二項演算子加算なら[$ a + b]の[$ +]が二項演算子

ordered pair1つか2つの集合から要素2つを取り出して、必要な順に並べて1つの組にしたものを順序対と呼ぶ。[順序組]のうち、2つの時の特殊な呼び方になる。[二項関係]、[二項演算]での[写像]の始端として現れる。

semigroup以下の2つの条件を満たすものが半群となる。集合[$ M]に[二項演算][$ M \times M \to M, (x, y) \mapsto x \star y]が定義されていること。[$ \star]は具体的にどんな演算子であるかは明確ではない。つまり、任意の[マグマ]が1つ定義されていること。

Magma集合[$ M]とその集合の要素同士の[二項演算][$ \mu: M \times M \to M]([$ \mu]は二項演算子)が定義されたもの。二項演算の結果はまた集合[$ M]に含まれていなければならない。([閉じている]必要がある。)ここまでが要件で、それ以外の条件を含まない。以下は注意