累乗

exponentiation

冪: べき: power

冪

(0) 0⁰の値を0 と考えると都合のよい場面の例をあげよ。

(1) 0⁰の値を1と考えると都合のよい場面の例をあげよ。

(2) 0⁰の値を2 と考えると都合のよい場面の例をあげよ。

※(2)の例は私もいま反射的には思い浮かんでいません

指数関数の指数部分が有理数や無理数でも任意の精度で値を定められる

指数部分を近似すればよい

打ち切り表示で暗黙に認めている

知られた値の積にすれば簡単

$ 2^{0.625} = 2^\tfrac{1}{2} \times 2^\tfrac{1}{8}

$ 2^(1/2) * 2^(1/8)

1.542210825407941

$ 2^{0.8\dot{3}} = 2^{\frac{1}{12}}

数表の値はどんどん小さくなっていくのでいい感じに選べる

$ \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{2^{16}} = \frac{5461}{65536}

真値との誤差:

$ 1/12 - 5461/65536

5.086263020828707e-6

$ 2^{0.8\dot{3}} \approx 2^{\left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{2^{16}}\right)}

1.0594593591981512

code:jl

function power_real(n, x; depth=16)

integer_part = floor(Int, x)

fractional_part = x - integer_part

bits = digits(round(Int, fractional_part * 2^depth), base=2, pad=depth)

p = sqrt(n)

acc = one(n)

for b in reverse(bits)

if b == 1

acc *= p

end

p = sqrt(p)

end

return n^integer_part * acc

end