環 - yanma

環

定義

集合$ R と次の演算が定義されているとする。

乗法$ \cdot : R \times R \rightarrow R

加法$ + : R \times R \rightarrow R

これらが次を満たすとき、$ R は演算$ \cdot, + について環をなすという。また、$ (R, \cdot, +) の組を環という。

$ R は加法について可換群をなす。

$ R は乗法についてモノイドをなす。

分配法則を満たす。すなわち、任意の$ a, b, c \in R に対して、$ a(b+c) = ab+ac, (b+c)a = ba + ca

NOTE

混乱の恐れがない場合は単に環$ R ということもある。

NOTE

乗法について可換な環を可換環という。

NOTE

0以外の元が乗法について可換群をなす環は体である。

つまり、0以外の元が乗法について逆元を持って交換法則を満たす環は体である。

NOTE

乗法について単位元の存在を仮定しない場合がある。

その場合は、単位元の存在する環を単位的環という。

特に断らずに環と言った場合、普通は単位的環を指す。

NOTE

1=0である環は単位元のみからなる。零環という。

普通は零環は考察の対象から外す。つまり、$ 1 \ne 0 を仮定してよい。

参考