群
定義
集合$ G と演算$ \cdot : G \times G \rightarrow G が次を満たすとき、$ G は演算$ \cdot について群をなすという。また、$ (G, \cdot) の組を群という。
結合則: 任意の$ a, b, c \in G に対して$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
単位元: ある$ e \in G が存在して任意の$ g \in G に対して$ e \cdot g = g \cdot e = g
逆元: 任意の$ g \in G に対してある$ g^{-1} \in G が存在して$ g \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot g = e
NOTE
単位元は一意。実際、$ a, b \in G が共に$ G の単位元だったとすると、$ a = ab = b となる。
NOTE
逆元は一意。実際、$ b, c \in G が共に$ a \in G の逆元だったとすると、$ b = b(ac) = (ba)c = c となる。