開かつ閉集合
数学、特に位相幾何学や位相空間論において、ある位相空間の開かつ閉集合（かいかつへいしゅうごう、英: closed-open set）とは、その位相空間の開集合であり閉集合でもあるような集合である。普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X−A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。 面白いnishio.icon
誤った説明
集合を図で描いたときに開集合の輪郭と閉集合の輪郭が混在してる場合Summer498.icon
https://gyazo.com/93f08008a08039f11b2151da0cd7cf78
左が開集合、中が開かつ閉集合、右が閉集合
そういうことかtakker.icon
そうか？nishio.icon
そうだと思っていたSummer498.icon
開集合でも閉集合でもないっぽいyosider.icon
GPT-4.icon
開集合の定義について: 集合が開集合であるためには、その集合内の任意の点に対して、その点を中心とするある半径r>0の開円盤（2次元の場合）がその集合内に完全に含まれる必要があります。 閉集合の定義について: 集合が閉集合であるためには、その集合の補集合が開集合である必要があります。また、境界点がその集合に含まれている場合も閉集合と言います。 +1nishio.icon
中央の図では「輪郭上の点」についてその点を中心とするある半径r>0の開円盤がその集合内に完全に含まれるが成立しないため、これは開集合ではない
開かつ閉どころか開でも閉でもないのは草.iconSummer498.icon
任意の位相空間 X に対して、空集合および全体集合 X はいずれも X の開かつ閉集合である X の開かつ閉集合が空集合と全体集合 X だけであるときかつそのときに限り、X は連結である X の部分集合 A に対して、A が X の開かつ閉集合であるときかつそのときに限り、A の境界は空集合である 境界がない…yosider.icon
X を実数直線 R の 2 つの開区間 (0,1), (2,3) の和集合とする： X = (0,1)∪(2,3)。X に、R の通常の位相から作られる X 上の相対位相を導入する。そのとき、開区間 (0,1), (2,3) はいずれも X の開かつ閉集合である。 $ X=(0,1)\cup(2,3)
あっだめだレベルが足りないtakker.icon
位相空間ダンジョンで位相スキルを獲得してから再チャレンジしよう GPT-4.icon
実数直線 $ \mathbb{R} 上の開区間 A: (0,1) と B: (2,3) の和集合 $ X = (0,1) \cup (2,3) に対して、$ \mathbb{R} の通常の位相から作られる X 上の相対位相を考えると、A と B は X の開かつ閉集合になります。これを理解するためには、開集合と閉集合の定義、および相対位相の概念を理解する必要があります。
1: 開集合の定義：位相空間 $ \mathbb{R} において、開区間は開集合です。したがって、AとBは $ \mathbb{R} の開集合です。
2: 相対位相：位相空間 $ \mathbb{R} の部分集合 X に相対位相を導入するとき、X の開集合は $ \mathbb{R} の開集合と X の和集合によって形成されます。つまり、$ X 上の開集合は $ \mathbb{R} の開集合と $ X の交わりです。
そうか？nishio.icon
いいえ、その説明は正確ではありません。正しくは、位相空間 $ \mathbb{R} の部分集合 $ X における相対位相に関して、$ X の開集合は次のように定義されます：
相対位相の定義：位相空間 $ \mathbb{R} の部分集合 $ X 上の開集合は、$ \mathbb{R} の開集合と $ X の*交わり（intersection）*によって形成されます。つまり、ある集合 U が $ X 上で開であるためには、ある $ \mathbb{R} 上の開集合 V が存在して、$ U = V \cap X となる必要があります。
必要なだけでなく十分だと思うnishio.icon
清書: ある集合 U が $ X 上で開であるとは、ある $ \mathbb{R} 上の開集合 V が存在して、$ U = V \cap X となること。
3: $ X = (0,1) \cup (2,3) であり、この和集合において、$ (0,1) と $ (2,3) はそれぞれ自己完結していて、他の部分と交わりません。したがって、$ (0,1) と $ (2,3) はそれぞれ $ X において開集合です。
ちょっと説明の仕方が微妙nishio.icon
Aはある $ \mathbb{R} 上の開集合 Aが存在して $ A = A \cap X なのでX 上で開である
これでいいよね
4: 閉集合の定義：位相空間において、集合が閉であるとは、その補集合が開であることを意味します。
5: $ X 上の閉集合：$ X の中で、$ (0,1) の補集合は $ (2,3) であり、$ (2,3) の補集合は $ (0,1) です。これらはそれぞれ $ X において開集合です。従って、$ (0,1) と $ (2,3) は $ X において閉集合でもあります。
なるほどねポイントnishio.icon
2つの開集合の和である集合が全体集合のとき、ある開集合の補集合はもう一つの開集合
結論として、$ X = (0,1) \cup (2,3) 上で、開区間 $ (0,1) と $ (2,3) はそれぞれ開集合であり、その補集合も開集合であるため、閉集合でもあります。