複素数計算

wikiによると、この計算は誤り

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$ \begin{aligned}\sqrt{i} &= \exp\left(\frac{1}{2}\ln i\right)\\ &= \exp\left(\frac{1}{2}( \frac{1}{2}\pi+2n\pi i)\right)\\ &= \exp\left(\frac{1}{4}\pi+n\pi i\right)\\ &= \pm\frac{1}{2}\sqrt{2}(1+i)\end{aligned}

本当になんて呼べば良いんだろう

(そしてこれが混乱の諸悪の根源なのだが)それを単に平方根と略したりします。

あとインデントを1段下げていたのもあるかも

根号は実数とか複素数についてるオペレータです。単体で主値を持つことはないと思う

$ \forall z\in\mathbb{C}\ \left\lbrack z^2=i\iff z=e^{\frac{1}{4}\pi i}\lor z=e^{\frac{5}{4}\pi i}\right\rbrack

https://ja.wikipedia.org/wiki/ファイル:Imaginary2Root.svg https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/32/Imaginary2Root.svg

$ \begin{aligned}\sqrt{i} &= \left(e^{\frac{1}{2}\pi i}\right)^\frac{1}{2}\\ &= e^{\frac{1}{4}\pi i}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\end{aligned}

$ \begin{aligned}\sout{\because\ }&\sout{\forall z\in\mathbb{C}\ \exist (r,\theta)\in\mathbb{R}^2\ \forall n\in\mathbb{Z};z=r\exp(i\theta + 2n\pi i)}\\&\sout{\implies\forall n\in\mathbb{Z};\sqrt{i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 2n\pi i}}\\&\sout{\implies\sqrt{i}=e^{\frac{1}{4}\pi i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 2\pi i}=e^{\frac{1}{4}\pi i + 4\pi i}=\cdots}\end{aligned}

これ違う

$ \therefore \exist n\in\mathbb{Z};i^i=e^{-\frac{\pi}{2}-2 n \pi}