和積の公式の問題をオイラーの公式で解く

和積の公式の問題をオイラーの公式で解く

$ 4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2

$ =4\Re e^{i\frac A2}\Re e^{i\frac B2}\Re e^{i\frac C2}

$ \Re z:=\frac{z+\bar{z}}{2}

複素数の実部を取り出す関数

$ =4\cdot\frac{e^{i\frac A2}+e^{-i\frac A2}}{2}\frac{e^{i\frac B2}+e^{-i\frac B2}}{2}\frac{e^{i\frac C2}+e^{-i\frac C2}}{2}

$ =\frac12\left(e^{i\frac{A+B}{2}}+e^{-i\frac{A+B}{2}}+e^{i\frac{A-B}{2}}+e^{i\frac{-(A-B)}{2}}\right)\left(e^{i\frac C2}+e^{-i\frac C2}\right)

$ =\frac12\left(e^{i\frac{A+B+C}{2}}+e^{-i\frac{A+B+C}{2}}+e^{i\frac{A-B+C}{2}}+e^{i\frac{-(A-B+C)}{2}}+e^{i\frac{A+B-C}{2}}+e^{i\frac{-(A+B-C)}{2}}+e^{i\frac{A-B-C}{2}}+e^{i\frac{-(A-B-C)}{2}}\right)

ここまで、展開しただけ

$ =\cos\frac12(A+B+C)+\cos\frac12(A-B+C)+\cos\frac12(A+B-C)+\cos\frac12(A-B-C)

$ \because A+B+C=\pi

$ = \sin B+\sin C+\sin A

$ \underline{= \sin A+\sin B+\sin C\quad}_\blacksquare