和積の公式の問題を解く

今日和積の公式習ったので応用問題をしてみよう

https://gyazo.com/6ccac438a9b72f6cc96375181ca31624

Discordから引用

$ sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}2cos\frac{B}2cos\frac{c}2を証明せよ

$ A=180°-(B+C)より$ sinA=sin(π-B+C)=sin(B+C)

$ sinB+sinC=2sin\frac{B+C}2cos\frac{B-C}2

和積の公式：s+s=2sのc

$ sin(B+C)=sin\frac{B+C}2cos\frac{B+C}2

倍角の公式：$ sin2θ=2sinθcosθ

左辺$ =2sin\frac{B+C}2(cos\frac{B+C}2+cos\frac{B-C}2)

$ =4sin\frac{B+C}2cos\frac{B}2cos\frac{C}2

加法定理：

$ cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC

$ cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC

よって$ cos\frac{B+C}2+cos\frac{B-C}2=2cos\frac{B}2cos\frac{C}2

$ sin\frac{B+C}2=sin(\fracπ2-\frac{A}2)=cos\frac{A}2

よってsinA+sinB+sinC=4cosA/BcosB\2+cosC/2