命題と真理値
命題は「正しいか正しくないか(真か偽か)を判断できる文や式」のこと
Q.「みかんは果物である」は命題か？
命題であるcFQ2f7LRuLYP.icon
「みかんは果物」に対してはいともいいえの判断ができる
（みかんや果物の定義にもよる）
Q.「みかんは果物ではない」は命題か？
これも命題cFQ2f7LRuLYP.icon
「みかんは果物」に対してはいともいいえの判断ができる(天丼) Q.「みかんとは何か？」は命題か？
これは……どうだろうcFQ2f7LRuLYP.icon
プログラムに対して
「1は数字ですか？」と聞くと「はい」か「いいえ」の答えになりそう
"1"なのか1なのかで答えは変わりそう
「1は何ですか？」と聞くと……型の種類を答えてくれそう
あれ？これも一応「はい」「いいえ」になってる？
「1の型は何ですか？」と聞かないと答えてくれなさそうyosider.icon
「くれそう」で話を進めていくのはダメだな。やめておこう
「何か？」という場合回答者が答えを用意しないといけない感じがある
xは変数とします.次に示す文や式は，命題ではありません.
「x+1=2」, 「xは赤い」
なぜなら，これらの文はxが何であるかが決まっていれば真か偽かを判断できますが，Xが何であるかが決まらないうちは真か偽かを判断できないからです.(p.12)
なるほどcFQ2f7LRuLYP.icon
このように「変数を含んでいて、変数が確定すれば真偽を判定できる文や式」を述語という、とのこと どこかで見たぞ！cFQ2f7LRuLYP.icon
「みかんとは何か？」は命題ではなく述語、ってことかなcFQ2f7LRuLYP.icon
違うnishio.icon
「みかんとは何か？」はそもそも「真」とか「偽」とか判断できない
「xは果物か？」これは述語
「みかんはXか？」これも述語
日本語の曖昧さを避けるために数学語で書いとくと$ x \in 果物 と $ みかん \in X なるほどcFQ2f7LRuLYP.icon
Q. 「みかん」は命題か？
命題ではないcFQ2f7LRuLYP.icon
「みかん」については、はいともいいえとも言えない
「🍊←これはみかんですか？」は命題になれる
ヒロアカは外伝含めて溜めエピソードが非常に長い印象がある
「項」や「元」「要素」に該当するtakker.icon 真理値は「命題が真であるか偽であるかの情報」のこと
命題であることと、それが真であるかどうかは別の問題(p.13)
整数の範囲において
$ 1+1=2も$ 1+1=3も命題である
$ 1+1=2は真の命題
「真」であることを記号$ Tで表す
$ \topもつかったりするtakker.icon
何時までやるか決めよう(提案)cFQ2f7LRuLYP.icon
すまん緊急でsettings弄るつもりがさっそく脱線してしまったtakker.icon
退出します
コメント多謝！cFQ2f7LRuLYP.icon
$ 1+1=3は偽の命題
「偽」であることを記号$ Fで表す
$ \botもつかったりするtakker.icon
$ T→$ \top→その反対で$ \bot、という由来？yosider.icon
論理演算子と真理値表
命題pとqを論理演算子で結びつけた文も、命題となる
論理演算子
$ p\land q：pかつq
pの真偽、qの真偽、そしてそれを組み合わせたpかつqの真偽がそれぞれあるってわけだな
例えば……なんだろう
「ニャオハ.iconはポケモン」$ \land「ニャオハ.iconはくさタイプ」は$ Tだな
ポケモンだしくさタイプである
「ニャオハ.iconはポケモン」$ \land「ニャオハ.iconは準伝説」は$ Fだ
前は「真」だけど後が「偽」
「ニャオハ.iconは立つ」$ \land「ニャオハ.iconはくさタイプ」は……？
前者がわからない！(未プレイ)cFQ2f7LRuLYP.icon
table:真理値表
A B A∧B
T T T
T F F
F T F
F F F
$ p\land q
命題pかqのいずれかが「真」であれば「真」となる
例
「今川焼き.iconには小麦粉が入ってる」$ \lor「ごっつ旨いお好み焼.iconには小麦粉が入ってる」は$ T
「今川焼き.iconには小麦粉が入ってる」$ \lor「ニャオハ.iconはほのおタイプ」は$ T
前者の命題が真だからだ
Fになる場合は？
命題p,qがどっちもFだった場合
table:真理値表
A B A∨B
T T T
T F T
F T T
F F F
命題$ pに対して「$ pではない」という文は$ \lnot pで表す
これも命題
$ \lnotは$ \landや$ \lorよりも優先度が高い
$ \lnot A \land Bは$ (\lnot A) \land B
$ \lnot (A \land B)ではない
命題$ p「ニャオハ.iconはくさねこポケモン」
命題$ \lnot p「ニャオハ.iconはくさねこポケモンではない」
$ pの真理値がわかっている場合、$ \lnot pの真理値は機械的に決定する
下にある通り
真理値の計算の重要な点
しかし，ここで重要なのは，真理値表を考えることによって，命題の真理値を，命題そのものの意味を解釈することなく機械的に計算できるという点です.(p.14)
機械的に計算できると何がうれしいのだろう？cFQ2f7LRuLYP.icon
数学ガール/ゲーデルの不完全性定理で意味論構文論のくだりででてきたような そんなことはなかった
例えばこのすこし上でcFQ2f7LRuLYP.iconはいちいち例文を考え、その例文ひとつひとつの真理値について解釈に立ち入っていた
真理値表を使うとそれをスキップできる？
単に四則演算を機械的に計算できることと同じことを言っているだけだと思うtakker.icon
四則演算するとき、いちいちりんごに置き換えてから計算したりしない
思考が速くなる、自分の変わりに機械に任せられるSummer498.icon
例として命題$ \lnot (p\land \lnot q)の真理値表の作り方が載ってる
cFQ2f7LRuLYP.iconも見ずに作ってみよう
table:真理値表
p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q)
T T F F T
T F T T F
F T F F T
F F T F T
1. pとqのすべてのパターンを書いた
2. qを反転して¬qを埋める
3. p∧¬qを埋める
∧のなので、pも¬qもTのときだけTになる
4. (p∧¬q)を反転して¬(p∧¬q)を埋める
おおー、たしかに解釈を挟まずに表が埋まった！
しかもあっている。よかった