ベクトル解析
空間と名がついているが位相構造はなくても良い
内積はそれに付随するノルムを自然に導く
従って、内積空間は距離空間である
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ベクトル場: 内積空間上の各点$ pに対して$ pを始点とするベクトル$ \bm v\circ pを対応させる写像$ \bm v スカラー場: 空間上の各点$ pに対して実数$ s\circ pを対応させる写像$ s 線積分、面積分、体積分
場の定義域内で点を動かしたときの値をまとめたもの
スカラー場 $ F に対して、
定義域上の曲線$ Sが$ \bm x(t_1,t_2)のようにパラメータ表示されている
この時、スカラー場$ Fの$ S上での面積分を
$ I=\int F(\bm x(t_1,t_2))\left\|\frac{{\partial}\bm x}{{\partial}t_1}\times\frac{{\partial}\bm x}{{\partial}t_2}\right\|{\rm d}t_1{\rm d}t_2により定義する。
ここで、$ Cの新しいパラメータ表示を導入して、$ \bm x(\tau_1,\tau_2)とする
曲線$ Cに沿ったスカラー場$ Fの面積分は以下のように書ける
$ J=\int F(\bm x(\tau_1,\tau_2))\left\|\frac{{\partial\bm x}}{\partial \tau_1}\times\frac{{\partial\bm x}}{\partial\tau_2}\right\|{\rm d}\tau_1{\rm d}\tau_2
ここで、ヤコビアンが正$ \frac{\partial(t_1,t_2)}{\partial(\tau_1,\tau_2)}>0のとき、 そこで$ Fの$ S上での面積分を
$ \int_S F{\rm d}Sと表す