ベクトル場の線積分
from ベクトル解析
ベクトル場の線積分
ベクトル場$ \bm Fに対して、
定義域上の曲線$ Cが$ \bm x(t),\ t\in\lbrack a,b\rbrackのようにパラメータ表示されている
この時、積分$ I=\int_a^b\bm F(\bm x(t))\cdot \frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\ {\rm d}tを
曲線$ Cに沿ったベクトル場$ \bm Fの線積分という
スカラー場の線積分と同様に、
定義域上の曲線$ Cの新しいパラメータ表示$ t(\tau)を導入して、$ \bm x\circ t(\tau),\ \tau\in\lbrack \alpha,\beta\rbrackを考える
曲線$ Cに沿ったベクトル場$ \bm Fの線積分は以下のように書ける
$ J=\int_\alpha^\beta\bm F(\bm x\circ t(\tau))\cdot\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}\tau}{\rm d}\tau
ここで、$ \frac{{\rm d}t}{\rm d\tau}>0のとき、
$ J=\int_\alpha^\beta\bm F\circ\bm x\circ t(\tau)\cdot\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}\tau}{\rm d}\tau
$ =\int_\alpha^\beta\bm F\circ\bm x\circ t(\tau)\cdot\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}{\rm d}\tau
$ =\int_\alpha^\beta\bm F\circ\bm x\circ t(\tau)\cdot\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}{\rm d}\tau
$ =\int_\alpha^\beta\bm F\circ\bm x(t)\cdot\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}{\rm d}t
$ =I
よって、曲線$ Cの向きがパラメータによって変わらないのであれば、パラメータの取り方によらずに線積分の値は一致する
そこで線素$ {\rm d}sを$ {\rm d}s=\|{\rm d}\bm x\|として定義し、
ベクトル場の線積分を$ \int_C \bm F{\rm d}sと表記する